Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 4145 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 37817 Θέμα: 2
Τελευταία Ενημέρωση: 10-Οκτ-2024 Ύλη: 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 2
Κωδικός Θέματος: 37817
Ύλη: 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών
Τελευταία Ενημέρωση: 10-Οκτ-2024
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 2

Δίνεται η παράσταση \(Α=x^{4}+\dfrac{x^{4}-4}{x^{2}-2}\), \(x\ne \pm \sqrt{2}\).
α) Να δείξετε ότι \(Α=x^{4}+x^{2}+2\).
(Μονάδες 15)

β)
i. Να αιτιολογήσετε γιατί \(Α>0\) για κάθε \(x\ne \pm \sqrt{2}\)
(Μονάδες 5)

ii. Για ποια τιμή του \(x\) η παράσταση \(Α\) παίρνει τη μικρότερη τιμή της;
(Μονάδες 5)

ΛΥΣΗ

α) Για κάθε \(x\ne \pm \sqrt{2}\) έχουμε:

\begin{align} Α & =x^{4}+\dfrac{x^{4}-4}{x^{2}-2} \\ & = x^{4}+\dfrac{(x^{2}-2)(x^{2}+2)}{x^{2}-2} \\ & =x^{4}+(x^{2}+2) \\ & =x^{4}+x^{2}+2 \end{align}

β)
i. Παρατηρούμε ότι \(x^{4}\ge 0,x^{2}\ge 0\) και \(2>0\), άρα \(x^{4}+x^{2}+2>0\), δηλαδή \(Α>0\).

ii. Εφόσον \(x^{4}\ge 0,x^{2}\ge 0\), για \(x=0\) η παράσταση \(Α\) παίρνει τη μικρότερη τιμή της που είναι ίση με \(2\).