α) Γνωρίζουμε ότι ο όγκος της δεξαμενής ισούται με το γινόμενο των τριών διαστάσεων της. Επειδή η δεξαμενή έχει βάση τετράγωνη θέτουμε $x$ το μήκος και το πλάτος της οπότε το ύψος της θα είναι $\frac{x}{4}$. Άρα ο όγκος της δεξαμενής $V$ θα είναι:

$$V=x\cdot x\cdot \frac{x}{4}=\frac{x^3}{4}$$

Αφού η δεξαμενή έχει όγκο $V=16m^3$ θα έχουμε:

$$\begin{array}{rl}& V=16\\ ⟺& \frac{x^3}{4}=16\\ ⟺& x^3=64\\ ⟺& x=\sqrt[3]{64}\\ ⟺& x=\sqrt[3]{4^3}\\ ⟺& x=4m.\end{array}$$

Οπότε η δεξαμενή έχει μήκος και πλάτος ίσα με $4m$ και ύψος ίσο με $1m$.

β) Έστω $x,(x>0)$ το μήκος της δεξαμενής. Τότε το πλάτος της θα είναι $x-2$ και ο όγκος της δεξαμενής θα ισούται με $V=2x(x-2)$.
Οπότε έχουμε:

$$\begin{array}{rl}& V=16\\ ⟺& 2x(x-2)=16\\ ⟺& x(x-2)=8\\ ⟺& x^2-2𝑥=8\\ ⟺& x^2-2𝑥-8=0\end{array}$$

Έχουμε

$$\begin{array}{rl}\Delta =& {\beta }^2-4\cdot \alpha \cdot \gamma \\ =& (-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-8)\\ =& 4+32\\ =& 36>0.\end{array}$$

Τότε:

$$\begin{array}{rl}& x_{1,2}=\frac{-\beta \pm \sqrt{\Delta }}{2\cdot \alpha }\\ ⟺& x_{1,2}=\frac{2\pm \sqrt{36}}{2\cdot 1}\\ ⟺& x_{1,2}=\frac{2\pm 6}{2}\\ ⟺& x_{1,2}=\{\begin{array}{l}\frac{2-6}{2}\\ \frac{2+6}{2}\end{array}\\ ⟺& x_{1,2}=\{\begin{array}{l}-2,\text{ απορρίπτεται γιατί πρέπει }x>0\\ 4,\text{ δεκτή }\end{array}\end{array}$$

Άρα το μήκος της δεξαμενής είναι $4m$ και το πλάτος $2m$.

γ) Αφού η νέα δεξαμενή περιέχει $10m^3$ πετρέλαιο και η βάση της έχει μήκος $4m$ και πλάτος $2m$, αν $x$ είναι το ύψος του υγρού μέσα στη δεξαμενή ο όγκος του υγρού θα είναι:

$$\begin{array}{rl}& V_{\pi \epsilon \tau \rho .}=10\\ ⟺& 4\cdot 2\cdot x=10\\ ⟺& 8\cdot x=10\\ ⟺& x=\frac{10}{8}\\ ⟺& x=\frac{5}{4}m.\end{array}$$

Άρα το ύψος του υγρού στη δεξαμενή είναι $\frac{5}{4}m$.