α) Γνωρίζουμε ότι ο όγκος της δεξαμενής ισούται με το γινόμενο των τριών διαστάσεων της. Επειδή η δεξαμενή έχει βάση τετράγωνη θέτουμε \(x\) το μήκος και το πλάτος της οπότε το ύψος της θα είναι \(\frac{x}{4}\). Άρα ο όγκος της δεξαμενής \(V\) θα είναι:

$$V=x\cdot x\cdot \frac{x}{4}=\frac{x^3}{4}$$

Αφού η δεξαμενή έχει όγκο \(V=16m^3\) θα έχουμε:

\begin{align}&V=16\\ \iff&\frac{x^3}{4}=16\\ \iff&x^3=64\\ \iff&x=\sqrt[3]{64}\\ \iff&x=\sqrt[3]{4^3}\\ \iff&x=4m.\end{align}

Οπότε η δεξαμενή έχει μήκος και πλάτος ίσα με \(4m\) και ύψος ίσο με \(1m\).

β) Έστω \(x,\ (x>0)\) το μήκος της δεξαμενής. Τότε το πλάτος της θα είναι \(x-2\) και ο όγκος της δεξαμενής θα ισούται με \(V=2x(x-2)\).
Οπότε έχουμε:

\begin{align}&V=16\\ \iff&2x(x-2)=16\\ \iff&x(x-2)=8\\ \iff&x^2-2𝑥=8\\ \iff&x^2-2𝑥-8=0\end{align}

Έχουμε

\begin{align}Δ=&β^2-4\cdot α\cdot γ\\ =&(-2)^2-4\cdot 1\cdot (-8)\\ =&4+32\\ =&36>0.\end{align}

Τότε:

\begin{align}&x_{1,2}=\frac{-β\pm\sqrt{Δ}}{2\cdot α}\\ \iff&x_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{36}}{2\cdot1}\\ \iff&x_{1,2}=\frac{2\pm6}{2}\\ \iff&x_{1,2}=\begin{cases}\frac{2-6}{2}\\ \frac{2+6}{2}\end{cases}\\ \iff&x_{1,2}=\begin{cases}-2,\text{ απορρίπτεται γιατί πρέπει } x>0\\ 4,\text{ δεκτή }\end{cases}\end{align}

Άρα το μήκος της δεξαμενής είναι \(4m\) και το πλάτος \(2m\).

γ) Αφού η νέα δεξαμενή περιέχει \(10m^3\) πετρέλαιο και η βάση της έχει μήκος \(4m\) και πλάτος \(2m\), αν \(x\) είναι το ύψος του υγρού μέσα στη δεξαμενή ο όγκος του υγρού θα είναι:

\begin{align}&V_{πετρ.}=10\\ \iff&4\cdot 2\cdot x=10\\ \iff&8\cdot x=10\\ \iff&x=\frac{10}{8}\\ \iff&x=\frac{5}{4}m.\end{align}

Άρα το ύψος του υγρού στη δεξαμενή είναι \(\frac{5}{4}m\).