α) Προφανώς

$$α_1=S_1=2\cdot 1^2+3\cdot 1=5.$$

β) Θέτοντας όπου \(ν\) το \(ν-1\), παίρνουμε:

\begin{align}S_ν−1&=2(ν-1)^2+3(ν-1)\\ &= 2(ν^2-2ν+1)+3ν-3\\ &=2ν^2-4ν+2+3ν-3\\ &=2ν^2-ν-1\end{align}

για κάθε \(ν\geq 2\).

γ) Για κάθε \(ν\geq 2\), έχουμε

\begin{align}α_ν&=(α_1+α_2+\dots+α_{ν-1}+α_ν)\\ &\phantom{=}-(α_1+α_2+\dots+α_ν)\\ &= S_ν-𝑆_{ν-1}\\ &= 2ν^2 + 3ν - (2ν^2-ν-1)\\ &= 2ν^2 + 3ν - 2ν^2+ν+1\\ &= 4ν+1.\end{align}

Αλλά \(α_1=5=4\cdot 1+1\). Ώστε \(α_ν=4ν+1\), για κάθε \(ν\geq 1\).

δ) Για να είναι η ακολουθία \((α_ν)\) αριθμητική πρόοδος, θα πρέπει η διαφορά δύο οποιωνδήποτε διαδοχικών όρων να είναι σταθερή. Πράγματι:

\begin{align}α_{ν+1}-α_ν&=[4(ν+1)+1]-[4ν+1]\\ &=4ν+4+1-4ν-1\\ &=4.\end{align}

Άρα η διαφορά \(ω\) είναι ίση με \(4\).