Θέμα: 13368

Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Πηγή: Ι.Ε.Π.	Αναγνώσθηκε: 10391 φορές Επικοινωνία
Μάθημα:	Άλγεβρα	Τάξη:	Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος:	13368	Θέμα:	4
Τελευταία Ενημέρωση:	19-Μαΐ-2023	Ύλη:	2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	13368
Ύλη:	2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 19-Μαΐ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)

Αρχείο Εκφώνησης (PDF) Αρχείο Εκφώνησης (DOC)

ΘΕΜΑ 4

Στο παρακάτω σχήμα οι κορυφές του τετραγώνου $Ε Ζ Η Θ$ βρίσκονται πάνω στις πλευρές του τετραγώνου $Α Β Γ Δ$ .

α) Αν η πλευρά του τετραγώνου $Α Β Γ Δ$ είναι $α$ και η απόσταση των κορυφών του $Ε Ζ Η Θ$ από τις αντίστοιχες κορυφές του $Α Β Γ Δ$ είναι $x$ , όπως φαίνεται στο σχήμα, να δείξετε ότι το εμβαδόν του $Ε Ζ Η Θ$ δίνεται από τη σχέση:

$(Ε Ζ Η Θ) = x^{2} + (α - x)^{2} με 0 \leq x \leq α$

(Μονάδες 6)

β) Να δείξετε ότι το εμβαδόν του $Ε Ζ Η Θ$ δεν μπορεί να είναι μικρότερο από το μισό του εμβαδού $Α Β Γ Δ$ .
(Μονάδες 11)

γ) Να βρείτε την πλευρά $α$ του τετραγώνου $Α Β Γ Δ$ αν για $x = 1$ , το εμβαδόν του $Ε Ζ Η Θ$ είναι τα δύο τρίτα του εμβαδού του $Α Β Γ Δ$ , δηλαδή: $(Ε Ζ Η Θ) = \frac{2}{3} (Α Β Γ Δ)$ .
(Μονάδες 8)

(Δίνεται $\sqrt{3} \approx 1, 73$ )

Εμφάνιση Απάντησης

Αρχείο Απάντησης (PDF) Αρχείο Απάντησης (DOC)

ΛΥΣΗ

α) Το εμβαδόν του $Ε Ζ Η Θ$ είναι $(Ε Ζ Η Θ) = (Θ Ε)^{2}$ . Στο ορθογώνιο τρίγωνο $Α Ε Θ$ είναι $(Α Ε) = x$ και $(Α Θ) = α - x$ . Από το πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε:

$(Θ Ε)^{2} = (Α Ε)^{2} + (Α Θ)^{2}$

Άρα:

$(Ε Ζ Η Θ) = x^{2} + (α - x)^{2}$

Επίσης, επειδή το $Θ$ είναι σημείο της πλευράς $Δ Α$ και $x$ είναι η απόσταση από την κορυφή $Δ$ , θα είναι:

$0 \leq (Δ Θ) \leq (Δ Α)$ $\Leftrightarrow 0 \leq x \leq α$

β) Το εμβαδόν του $Α Β Γ Δ$ είναι $(Α Β Γ Δ) = α^{2}$ . Άρα η ζητούμενη σχέση γράφεται:

$(Ε Ζ Η Θ) \geq \frac{(Α Β Γ Δ)}{2}$ $\Leftrightarrow x^{2} + (a - x)^{2} \geq \frac{α^{2}}{2}$ $\Leftrightarrow 2 x^{2} + 2 (a - x)^{2} \geq α^{2}$ $\Leftrightarrow 2 x^{2} + 2 α^{2} - 4 α x + 2 x^{2} \geq α^{2}$ $\Leftrightarrow 4 x^{2} + α^{2} - 4 α x \geq 0$ $\Leftrightarrow (2 x)^{2} - 2 α 2 x + α^{2} \geq 0$ $\Leftrightarrow (2 x - α)^{2} \geq 0 που ισχύει$

γ) Από το ερώτημα α) για $x = 1$ είναι:

$(Ε Ζ Η Θ) = 1^{2} + (α - 1)^{2}$ $= 1 + α^{2} - 2 α + 1$ $= α^{2} - 2 α + 2$

Οπότε η σχέση $(Ε Ζ Η Θ) = \frac{2}{3} (Α Β Γ Δ)$ ισοδύναμα γίνεται:

$α^{2} - 2 α + 2 = \frac{2}{3} α^{2}$ $\Leftrightarrow 3 α^{2} - 6 α + 6 = 2 α^{2}$ $\Leftrightarrow α^{2} - 6 α + 6 = 0$

Η εξίσωση είναι δευτέρου βαθμού ως προς $α$ με διακρίνουσα $Δ = 6^{2} - 4 \cdot 6 = 12 > 0$ και ρίζες:

$α_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2}$ $= \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ $= 3 \pm \sqrt{3}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} α_{1} = 3 - \sqrt{3} \approx 3 - 1, 73 = 1, 27 \\ α_{2} = 3 + \sqrt{3} \approx 4, 73 \end{cases}$

Από το ερώτημα α), πρέπει να ισχύει $x \leq α$ , η οποία για $x = 1$ γίνεται $1 \leq α$ .

Παρατηρούμε ότι και οι δύο τιμές είναι δεκτές.