ΛΥΣΗ

α) Το εμβαδόν του \(ΕΖΗΘ\) είναι \((ΕΖΗΘ)=(ΘΕ)^{2}\). Στο ορθογώνιο τρίγωνο \(ΑΕΘ\) είναι \((ΑΕ)=x\) και \((ΑΘ)=α-x\). Από το πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε:

$$(ΘΕ)^{2}=(ΑΕ)^{2}+(ΑΘ)^{2}$$

Άρα:

$$(ΕΖΗΘ)=x^{2}+(α-x)^{2}$$

Επίσης, επειδή το \(Θ\) είναι σημείο της πλευράς \(ΔΑ\) και \(x\) είναι η απόσταση από την κορυφή \(Δ\), θα είναι:

$$0\le (ΔΘ)\le (ΔΑ) $$ $$\Leftrightarrow 0\le x\le α$$

β) Το εμβαδόν του \(ΑΒΓΔ\) είναι \((ΑΒΓΔ)=α^{2}\). Άρα η ζητούμενη σχέση γράφεται:

$$(ΕΖΗΘ)\ge \dfrac{(ΑΒΓΔ)}{2} $$ $$\Leftrightarrow x^{2}+(a-x)^{2}\ge \dfrac{α^{2}}{2} $$ $$\Leftrightarrow 2x^{2}+2(a-x)^{2}\ge α^{2} $$ $$\Leftrightarrow 2x^{2}+2α^{2}-4αx+2x^{2}\ge α^{2} $$ $$\Leftrightarrow 4x^{2}+α^{2}-4αx\ge 0 $$ $$\Leftrightarrow (2x)^{2}-2α2x+α^{2}\ge 0 $$ $$\Leftrightarrow (2x-α)^{2}\ge 0\ \ \text{που ισχύει}$$

γ) Από το ερώτημα α) για \(x=1\) είναι:

$$(ΕΖΗΘ)=1^{2}+(α-1)^{2}$$ $$=1+α^{2}-2α+1$$ $$=α^{2}-2α+2$$

Οπότε η σχέση \((ΕΖΗΘ)=\dfrac{2}{3}(ΑΒΓΔ)\) ισοδύναμα γίνεται:

$$α^{2}-2α+2=\dfrac{2}{3}α^{2} $$ $$\Leftrightarrow 3α^{2}-6α+6=2α^{2} $$ $$\Leftrightarrow α^{2}-6α+6=0$$

Η εξίσωση είναι δευτέρου βαθμού ως προς \(α\) με διακρίνουσα \(Δ=6^{2}-4\cdot 6=12>0\) και ρίζες:

$$α_{\text{1,2}}=\dfrac{6\pm \sqrt{12}}{2}$$ $$=\dfrac{6\pm 2\sqrt{3}}{2}$$ $$=3\pm \sqrt{3} $$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} α_{1}=3-\sqrt{3}≈3-1\ \text{,}\ 73=1\ \text{,}\ 27 \\ α_{2}=3+\sqrt{3}≈4\ \text{,}\ 73 \end{cases}$$

Από το ερώτημα α), πρέπει να ισχύει \(x\le α\), η οποία για \(x=1\) γίνεται \(1\le α\).

Παρατηρούμε ότι και οι δύο τιμές είναι δεκτές.