Λύση

α) Έχουμε:

$$\Delta =(-\alpha {)}^2-4[-(\alpha +1)]$$ $$={\alpha }^2+4\alpha +4$$ $$=(\alpha +2{)}^2$$

• Αν $\alpha =-2$ τότε $\Delta =0$ άρα το τριώνυμο έχει μοναδική ρίζα.
• Αν $\alpha \ne -2$ τότε $\Delta >0$ άρα έχει δυο ρίζες άνισες.

β)
(i) Αφού $\alpha >-2$ τότε το $f$ (x) έχει δυο ρίζες άνισες, τις $x={\displaystyle \frac{-(-\alpha )\pm \sqrt{(\alpha +2{)}^2}}{2}}$ άρα $x={\displaystyle \frac{\alpha \pm (\alpha +2)}{2}}$, οπότε η μία ρίζα είναι $x={\displaystyle \frac{2\alpha +2}{2}}={\displaystyle \frac{2(\alpha +1)}{2}}=\alpha +1$ και η άλλη $x={\displaystyle \frac{\alpha -\alpha -2}{2}}=-1$.

(ii) Έχει ρίζες τις $-1$, $\alpha +1$ με $\alpha >-2\iff \alpha +1>-1$ και το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

Άρα $f(x)\le 0$ για κάθε $x\in [-1,\alpha +1]$.

Οπότε πρέπει $(\alpha +1)-(-1)=\alpha +2=2024\iff \alpha =2022$.

(iii) Παρατηρούμε ότι $-1<{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}<\alpha +1$ διότι: $-1<{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}\iff \alpha >-2$ ισχύει και: ${\displaystyle \frac{\alpha }{2}}<\alpha +1\iff \alpha <2\alpha +2\iff \alpha >-2$, ισχύει.

Τότε σύμφωνα με το ερώτημα (ii) θα είναι $f({\displaystyle \frac{a}{2}})<0$.