ΛΥΣΗ

α) Ο αριθμός \(Α=\dfrac{-α}{β}\) ορίζεται όταν ο παρονομαστής είναι διαφορετικός του \(0\). Δηλαδή, αρκεί να ισχύει \(β\ne 0\).

Ο αριθμός \(Β=α^{2}\) ορίζεται για οποιαδήποτε τιμή του \(α\in R\).

Για να μην είναι μηδέν οι \(Α\), \(Β\), αρκεί και \(α\ne 0\).

β) Δύο αριθμοί \(Α\), \(Β\) λέγονται αντίθετοι, αν και μόνο, αν ισχύει \(Α+Β=0\).

Ισχύουν ισοδύναμα:

$$A+Β=0 $$ $$\Leftrightarrow \dfrac{-a}{β}+a^{2}=0 $$ $$\Leftrightarrow α^{2}β-α=0 $$ $$\Leftrightarrow α(αβ-1)=0 $$ $$\Leftrightarrow a=0\ \ \text{ή}\ \ αβ-1=0$$

Όμως από τον ορισμό των δύο αριθμών είναι \(α\ne 0\) , οπότε ισχύει ισοδύναμα ότι \(αβ=1\), το οποίο σημαίνει ότι οι αριθμοί \(α\), \(β\) είναι αντίστροφοι.