ΛΥΣΗ

α) Ο αριθμός ${\rm A}={\displaystyle \frac{-\alpha }{\beta }}$ ορίζεται όταν ο παρονομαστής είναι διαφορετικός του $0$. Δηλαδή, αρκεί να ισχύει $\beta \ne 0$.

Ο αριθμός ${\rm B}={\alpha }^2$ ορίζεται για οποιαδήποτε τιμή του $\alpha \in R$.

Για να μην είναι μηδέν οι ${\rm A}$, ${\rm B}$, αρκεί και $\alpha \ne 0$.

β) Δύο αριθμοί ${\rm A}$, ${\rm B}$ λέγονται αντίθετοι, αν και μόνο, αν ισχύει ${\rm A}+{\rm B}=0$.

Ισχύουν ισοδύναμα:

$$A+{\rm B}=0$$ $$\iff {\displaystyle \frac{-a}{\beta }}+a^2=0$$ $$\iff {\alpha }^2\beta -\alpha =0$$ $$\iff \alpha (\alpha \beta -1)=0$$ $$\iff a=0\text{ή}\alpha \beta -1=0$$

Όμως από τον ορισμό των δύο αριθμών είναι $\alpha \ne 0$ , οπότε ισχύει ισοδύναμα ότι $\alpha \beta =1$, το οποίο σημαίνει ότι οι αριθμοί $\alpha$, $\beta$ είναι αντίστροφοι.