α) Έχουμε διαδοχικά:

$$3=4−1=2^{2}−1^{2}$$ $$5=3^{2}−2^{2}$$

και σκεπτόμενοι ότι:

$$7=Μ^{2}−Ν^{2}$$ $$=(Μ−Ν)(Μ+Ν)$$

ένα γινόμενο ακεραίων που δίνει \(7\) είναι οι \(1\), \(7\).

Αν \(Μ>Ν\) τότε \(Μ-Ν=1\), \(Μ+Ν=7\) και λύνοντας το σύστημα έχουμε με αντικατάσταση:

$$Μ=Ν+1$$

και

$$Ν+1 +Ν = 7$$

άρα \(2Ν = 6\), δηλαδή \(Ν = 3\) και \(Μ= 4\).

Οπότε:

$$7=4^{2}−3^{2}$$

β)
i) Έστω οι διαδοχικοί ακέραιοι \(k\), \(k+1\) , \(k\in ℤ\).

Η διαφορά των τετραγώνων τους είναι:

$$(k+1)^{2}−k^{2}=k^{2}+2k+1−k^{2}$$ $$=2k+1\ \text{,}\ k\in ℤ$$

Ο οποίος είναι περιττός αριθμός.

ii) Έχουμε ότι:

$$2021=2\cdot 1010+1$$

Από την απόδειξη στο προηγούμενο ερώτημα έχουμε:

$$2021=(1010+1)^{2}−(1010)^{2}$$ $$=1011^{2}−1010^{2}$$

γ) Η γραμμοσκιασμένη περιοχή έχει εμβαδόν όσο η διαφορά των εμβαδών των τετραγώνων \(ΑΒΓΔ\) και \(ΓΗΡΚ\).
Το τετράγωνο \(ΑΒΓΔ\) έχει πλευρά \(ν+1\), ενώ το \(ΓΗΡΚ\) έχει πλευρά \(ν\).

Ισχύει:

$$(ν+1)^{2}−ν^{2}=45$$

οπότε:

$$2ν+1=45 $$ $$\Leftrightarrow 2ν=44 $$ $$\Leftrightarrow ν=22$$