ΛΥΣΗ

α) Για να είναι τα σημεία ${\rm A}$, ${\rm B}$ είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα $x^{\prime }x$ θα πρέπει να ισχύει:

$$\{\begin{array}{l}\lambda =2-{\lambda }^2\\ \text{και}\\ \mu =-1\end{array}$$ $$\iff \{\begin{array}{l}{\lambda }^2+\lambda -2=0\\ \text{και}\\ \mu =-1\end{array}$$

Η διακρίνουσα του τριωνύμου ${\lambda }^2+\lambda -2$ είναι:

$$\Delta =1-4\cdot (-2)=9$$

και οι ρίζες:

$${\lambda }_{\text{1,2}}={\displaystyle \frac{-1\pm 3}{2}}$$ $$\iff \{\begin{array}{l}{\lambda }_1=1\\ \text{και}\\ {\lambda }_2=-2\end{array}$$

Άρα $\lambda =1$ ή $\lambda =-2$ και $\mu =-1$.

β) Επειδή θέλουμε το σημείο ${\rm A}$ να βρίσκεται στο δεύτερο τεταρτημόριο του ορθοκανονικού συστήματος, θα πρέπει να έχει αρνητική τετμημένη. Άρα: $\lambda =-2$.

γ) Για $\lambda =-2$ και $\mu =-1$ είναι ${\rm A}(-2,1)$ και ${\rm B}(-2,-1)$.

1. Επειδή τα σημεία ${\rm A}(-2,1)$ και ${\rm B}(-2,-1)$ είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα $x^{\prime }x$ το τμήμα ${\rm A}{\rm B}$ είναι κάθετο στον άξονα $x^{\prime }x$ και η απόστασή τους είναι:

$$({\rm A}{\rm B})=|-1-1|=2$$

2. Το μήκος της βάσης του τριγώνου $OAB$ είναι $({\rm A}{\rm B})=2$ μονάδες μήκους και το αντίστοιχο ύψος $({\rm O}{\rm M})=2$ μονάδες μήκους, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Άρα το εμβαδόν του τριγώνου ${\rm O}{\rm A}{\rm B}$ είναι:

$$({\rm O}{\rm A}{\rm B})={\displaystyle \frac{({\rm A}{\rm B})\cdot ({\rm O}{\rm M})}{2}}$$ $$={\displaystyle \frac{2\cdot 2}{2}}=2\text{τετραγωνικές μονάδες}$$