α)
i.

Tο τμήμα \(ΕΖ\) ενώνει τα μέσα των πλευρών \(ΑΓ\) και \(ΒΓ\) στο τρίγωνο \(ΑΒΓ\), άρα \(ΕΖ \parallel ΑΒ\) οπότε και \(ΕΖ \parallel ΑΔ\) και \(ΕΖ =\dfrac{AB}{2} = ΑΔ\). Άρα το τετράπλευρο \(ΑΔΖΕ\) έχει τις απέναντι πλευρές του \(ΑΔ\) και \(ΕΖ\) ίσες και παράλληλες οπότε είναι παραλληλόγραμμο. Επιπλέον η γωνία του \(\hat{Α}\) είναι ορθή, άρα το τετράπλευρο \(ΑΔΖΕ\) είναι ορθογώνιο.

ii.Το τμήμα \(ΔΕ\) ενώνει τα μέσα των πλευρών \(ΑΒ\) και \(ΑΓ\) στο τρίγωνο \(ΑΒΓ\), οπότε \(ΔΕ \parallel ΒΓ\) και \(ΔΕ =\dfrac{ΒΓ}{2}\).
Οι \(ΑΖ\), \(ΔΕ\) είναι διαγώνιες του ορθογωνίου \(ΑΔΖΕ\), οπότε είναι ίσες και διχοτομούνται με \(Θ\) το κέντρο του. Άρα \(ΑΘ =\dfrac{ΑΖ}{2} = \dfrac{ΔΕ}{2}= ΘΕ\). Το ευθύγραμμο τμήμα \(ΘΕ\) ενώνει τα μέσα των \(ΑΖ\) και \(ΑΓ\) στο τρίγωνο \(ΑΖΓ\), άρα \(ΘΕ = \dfrac{ΖΓ}{2} = \dfrac{\dfrac{ΒΓ}{2}}{2} = \dfrac{ΒΓ}{4}\).

β)
i.Επειδή \(\hat{ΖΕΓ}= 90^0\), το \(ΖΕ\) είναι ύψος στο τρίγωνο \(ΑΖΓ\) και επειδή είναι και διάμεσος, το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Άρα \(\hat{ΖΑΓ}= \hat{Γ} = 30^0\).
Η γωνία \(\hat{ΑΖΒ}\) είναι εξωτερική στο τρίγωνο \(ΑΖΓ\), άρα: \(\hat{ΑΖΒ} = \hat{ΖΑΓ} + \hat{Γ} = 60^0\).
ii.Στο ορθογώνιο τρίγωνο \(ΑΒΓ\) είναι \(\hat{Γ}= 30^0\), άρα \(AB =\dfrac{ΒΓ}{2}\) (1). Από το άθροισμα γωνιών του ορθογωνίου τριγώνου \(ΑΒΓ\), έχουμε: \(\hat{Β} + \hat{Γ} = 90^0\) ή \(\hat{Β}= 60^0\). Από το άθροισμα γωνιών του ορθογωνίου τριγώνου \(ΑΚΒ\) έχουμε: \(\hat{BΑK} + \hat{Β} = 90^0\) ή \(\hat{BΑK} = 30^0\). Οπότε στο ορθογώνιο τρίγωνο \(ΑΒΚ\) είναι \(BΚ =\dfrac{ΑΒ}{2}\) και λόγω της (1) \(ΒΚ = \dfrac{\dfrac{ΒΓ}{2}}{2}\) ή \(ΒΚ=\dfrac{ΒΓ}{4}\).