α)
i.

Tο τμήμα ${\rm E}{\rm Z}$ ενώνει τα μέσα των πλευρών ${\rm A}\Gamma$ και ${\rm B}\Gamma$ στο τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$, άρα ${\rm E}{\rm Z}\parallel {\rm A}{\rm B}$ οπότε και ${\rm E}{\rm Z}\parallel {\rm A}\Delta$ και ${\rm E}{\rm Z}={\displaystyle \frac{AB}{2}}={\rm A}\Delta$. Άρα το τετράπλευρο ${\rm A}\Delta {\rm Z}{\rm E}$ έχει τις απέναντι πλευρές του ${\rm A}\Delta$ και ${\rm E}{\rm Z}$ ίσες και παράλληλες οπότε είναι παραλληλόγραμμο. Επιπλέον η γωνία του $\widehat{{\rm A}}$ είναι ορθή, άρα το τετράπλευρο ${\rm A}\Delta {\rm Z}{\rm E}$ είναι ορθογώνιο.

ii.Το τμήμα $\Delta {\rm E}$ ενώνει τα μέσα των πλευρών ${\rm A}{\rm B}$ και ${\rm A}\Gamma$ στο τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$, οπότε $\Delta {\rm E}\parallel {\rm B}\Gamma$ και $\Delta {\rm E}={\displaystyle \frac{{\rm B}\Gamma }{2}}$.
Οι ${\rm A}{\rm Z}$, $\Delta {\rm E}$ είναι διαγώνιες του ορθογωνίου ${\rm A}\Delta {\rm Z}{\rm E}$, οπότε είναι ίσες και διχοτομούνται με $\Theta$ το κέντρο του. Άρα ${\rm A}\Theta ={\displaystyle \frac{{\rm A}{\rm Z}}{2}}={\displaystyle \frac{\Delta {\rm E}}{2}}=\Theta {\rm E}$. Το ευθύγραμμο τμήμα $\Theta {\rm E}$ ενώνει τα μέσα των ${\rm A}{\rm Z}$ και ${\rm A}\Gamma$ στο τρίγωνο ${\rm A}{\rm Z}\Gamma$, άρα $\Theta {\rm E}={\displaystyle \frac{{\rm Z}\Gamma }{2}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{{\rm B}\Gamma }{2}}}{2}}={\displaystyle \frac{{\rm B}\Gamma }{4}}$.

β)
i.Επειδή $\widehat{{\rm Z}{\rm E}\Gamma }={90}^0$, το ${\rm Z}{\rm E}$ είναι ύψος στο τρίγωνο ${\rm A}{\rm Z}\Gamma$ και επειδή είναι και διάμεσος, το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Άρα $\widehat{{\rm Z}{\rm A}\Gamma }=\hat{\Gamma }={30}^0$.
Η γωνία $\widehat{{\rm A}{\rm Z}{\rm B}}$ είναι εξωτερική στο τρίγωνο ${\rm A}{\rm Z}\Gamma$, άρα: $\widehat{{\rm A}{\rm Z}{\rm B}}=\widehat{{\rm Z}{\rm A}\Gamma }+\hat{\Gamma }={60}^0$.
ii.Στο ορθογώνιο τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ είναι $\hat{\Gamma }={30}^0$, άρα $AB={\displaystyle \frac{{\rm B}\Gamma }{2}}$ (1). Από το άθροισμα γωνιών του ορθογωνίου τριγώνου ${\rm A}{\rm B}\Gamma$, έχουμε: $\widehat{{\rm B}}+\hat{\Gamma }={90}^0$ ή $\widehat{{\rm B}}={60}^0$. Από το άθροισμα γωνιών του ορθογωνίου τριγώνου ${\rm A}{\rm K}{\rm B}$ έχουμε: $\widehat{B{\rm A}K}+\widehat{{\rm B}}={90}^0$ ή $\widehat{B{\rm A}K}={30}^0$. Οπότε στο ορθογώνιο τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}{\rm K}$ είναι $B{\rm K}={\displaystyle \frac{{\rm A}{\rm B}}{2}}$ και λόγω της (1) ${\rm B}{\rm K}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{{\rm B}\Gamma }{2}}}{2}}$ ή ${\rm B}{\rm K}={\displaystyle \frac{{\rm B}\Gamma }{4}}$.