ΛΥΣΗ

α) Η τεταγμένη του σημείου ${\rm M}$ είναι ίση με ${\displaystyle \frac{1}{2}}$, οπότε $\eta \mu \theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

β) Η γωνία $\theta$ περιέχεται στο δεύτερο τεταρτημόριο, όπου ισχύει $\sigma \upsilon \nu \theta <0$. Από τη βασική ταυτότητα $\eta {\mu }^2\theta +\sigma \upsilon {\nu }^2\theta =1$, έχουμε:

$$\sigma \upsilon {\nu }^2\theta =1-\eta {\mu }^2\theta =1-{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$$

και επειδή ισχύει $\sigma \upsilon \nu \theta <0$, παίρνουμε $\sigma \upsilon \nu \theta =-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$.

γ) Ισχύει $\eta \mu \theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}=\eta \mu {\displaystyle \frac{\pi }{6}}$ και ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <\pi$, οπότε η γωνία $\theta$ είναι η παραπληρωματική της γωνίας ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$, δηλαδή $\theta =\pi -{\displaystyle \frac{\pi }{6}}={\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$.