ΛΥΣΗ

α)
i. Ένα πολυώνυμο \(P(x)\) έχει παράγοντα το \(x-ρ\) αν και μόνο αν \(P(ρ)=0\). Έχουμε \(P(3)=2\cdot 3^{3}-3\cdot 3^{2}-11\cdot 3+6=54-27-33+6=0\), άρα το \(x-3\) είναι παράγοντας του \(P(x)\).

ii. Εκτελούμε την διαίρεση

β) Από το α)ii ερώτημα έχουμε ότι: \(2x^{3}-3x^{2}-11x+6=(x-3)(2x^{2}+3x-2)\).
Το \(2x-1\) θα διαιρεί το \(P(x)\) αν και μόνο αν διαιρεί τον παράγοντα \(2x^{2}+3x-2\).

Έχουμε \(2x^{2}+3x-2=(2x-1)(x+2)\), αφού \(Δ=25\) και \(x_{1}=-2,x_{2}=\dfrac{1}{2}\).
Οπότε \(2x^{3}-3x^{2}-11x+6=(x-3)(2x-1)(x+2)\), δηλαδή το \(P(x)\) έχει παράγοντα το \((x-3)(2x-1)\).

Εναλλακτική λύση
Είναι \((x-3)(2x-1)=2x^{2}-7x+3\). Εκτελούμε τη διαίρεση

Έχουμε \(2x^{3}-3x^{2}-11x+6=(2x^{2}-7x+3)(x+2)\), δηλαδή το \(P(x)\) διαιρείται με το \(2x^{2}-7x+3\), άρα διαιρείται με το \((x-3)\cdot (2x-1)\).