Λύση

α) Εφόσον το πολυώνυμο \(P(x)\) έχει ακέραιους συντελεστές, οι πιθανές ακέραιες ρίζες του θα είναι οι διαιρέτες του σταθερού όρου \(4\), δηλαδή οι αριθμοί \(\pm 1, \pm 2, \pm 4\).

Αντικαθιστώντας στο πολυώνυμο \(P(x)\) όπου \(x\) τον αριθμό \(2\) παρατηρούμε ότι:
\(P(2)=2^{3}−2\cdot 2^{2}−2\cdot 2+4=8−8−4+4=0,\) άρα η μοναδική ακέραια ρίζα του πολυωνύμου είναι το \(2\).

β) Εφόσον το \(2\) είναι ρίζα του \(P(x)\) ισχύει ότι το \(x−2\) είναι παράγοντας του \(P(x)\) οπότε εκτελώντας τη διαίρεση έχουμε:

Συνεπώς, η εξίσωση γράφεται: \(P(x)=0 \Leftrightarrow (x−2)(x^{2}−2)=0 \Leftrightarrow (x−2)(x−\sqrt{2})(x+\sqrt{2})=0\).
Οπότε οι ρίζες του πολυωνύμου είναι \(x=2,\) \(x=\sqrt{2},\) \(x=−\sqrt{2}\).
Το πολυώνυμο γράφεται: \(P(x)=(x−2)(x−\sqrt{2})(x+\sqrt{2})\).

Δεύτερη λύση:
Η εξίσωση \(x^{3}−2x^{2}−2x+4=0\) γράφεται ισοδύναμα:

\begin{align} & x^{3}−2x^{2}−2x+4=0 \\ & \Leftrightarrow x^{2}(x−2)−2(x−2)=0 \\ & \Leftrightarrow (x−2)(x^{2}−2)=0 \\ & \Leftrightarrow x−2=0 \text{ ή } x^{2}−2=0 \\ & \Leftrightarrow x=2 \text{ ή } x^{2}=2 \\ & \Leftrightarrow x=2 \text{ ή } x=\pm \sqrt{2}. \end{align}

Οπότε οι ρίζες του πολυωνύμου είναι \(x=2,\) \(x=\sqrt{2},\) \(x=−\sqrt{2}\).

Συνεπώς, η εξίσωση έχει μοναδική ακέραια ρίζα την \(x=2\).

Το πολυώνυμο γράφεται: \(P(x)=(x−2)(x−\sqrt{2})(x+\sqrt{2})\).