ΘΕΜΑ 2
2. 1
2.1.Α. Σωστή απάντηση η (α)
Μονάδες 4

2.1.Β.
Οι δυνάμεις κατά την διάρκεια της έκρηξης είναι εσωτερικές με αποτέλεσμα να έχουμε διατήρηση της ορμής. Έτσι μπορούμε να γράψουμε την αρχή διατήρησης της ορμής πριν και μετά την έκρηξη. Έχουμε ορίσει θετική φορά την φορά κίνησης του βλήματος $\overrightarrow{\upsilon }$. Η ταχύτητα του δεύτερου κομματιού είναι ${\overrightarrow{\upsilon }}_x$.

$${\overrightarrow{p}}_{\text{αρχ}}={\overrightarrow{p}}_{\text{τελ}}$$ $$\Rightarrow 3m\overrightarrow{\upsilon }=m4\overrightarrow{\upsilon }+2m{\overrightarrow{\upsilon }}_x$$ $$\Rightarrow 3m\upsilon =m4\upsilon +2m{\upsilon }_x$$ $$\Rightarrow {\upsilon }_x=-{\displaystyle \frac{\upsilon }{2}}$$

Μονάδες 8

2.2.
2.2.Α. Σωστή απάντηση η (β)
Μονάδες 4

2.2.Β. Στη θέση ${\rm A}$ η κεντρομόλος δύναμη είναι ίση με:

$$F_{{\rm A}}={\displaystyle \frac{m\cdot {\upsilon }_{{\rm A}}^2}{l}}$$ $$\Rightarrow F_A-mg={\displaystyle \frac{m\cdot {\upsilon }_{{\rm A}}^2}{l}}(1)$$

Επίσης, στη θέση $\Gamma$ η κεντρομόλος δύναμη είναι ίση με:

$$F_{\Gamma }={\displaystyle \frac{m\cdot {\upsilon }_{\Gamma }^2}{l}}$$ $$\Rightarrow F_{\Gamma }+mg={\displaystyle \frac{m\cdot {\upsilon }_{\Gamma }^2}{l}}(2)$$

Η κίνηση του σώματος γίνεται υπό την επίδρασης της δύναμης από το νήμα και του βάρους. Η πρώτη έχει ακτινική διεύθυνση, άρα είναι πάντοτε κάθετη στην μετατόπιση. Συνεπώς το έργο της είναι ίσο με $0$. Το βάρος είναι συντηρητική δύναμη, συνεπώς μπορούμε να εφαρμόσουμε Αρχή Διατήρησης Μηχανικής Ενέργειας για την μετατόπιση από το ${\rm A}$ στο $\Gamma$ (ή αντιστρόφως). Συγκεκριμένα:

$$U_A+K_A=U_{\Gamma }+K_{\Gamma }$$ $$\Rightarrow 0+{\displaystyle \frac{1}{2}}m\cdot {\upsilon }_{{\rm A}}^2=m\cdot g\cdot 2l+{\displaystyle \frac{1}{2}}m\cdot {\upsilon }_{\Gamma }^2$$ $$\Rightarrow m\cdot {\upsilon }_{{\rm A}}^2=4\cdot m\cdot g\cdot l+m\cdot {\upsilon }_{\Gamma }^2$$ $$\Rightarrow {\displaystyle \frac{m\cdot {\upsilon }_{{\rm A}}^2}{l}}=4\cdot m\cdot g+{\displaystyle \frac{m\cdot {\upsilon }_{\Gamma }^2}{l}}(3)$$

Αντικαθιστούμε τις $(1)$ και $(2)$ στην $(3)$:

$$F_A-mg=4\cdot m\cdot g+F_{\Gamma }+mg$$ $$\Rightarrow F_A=F_{\Gamma }+6\cdot m\cdot g$$

Από την παραπάνω ισότητα, δεδομένου ότι η ποσότητα $m\cdot g$ είναι πάντα θετική, προκύπτει ότι:

$$F_A>F_{\Gamma }$$

Μονάδες 9