Λύση

α) Εφόσον το σημείο ${\rm A}$ ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f(x)=a^x$ οι συντεταγμένες του θα ικανοποιούν τον τύπο της και επειδή $0<\alpha <1,$ θα ισχύει ότι
$a^1={\displaystyle \frac{1}{2}}\iff a={\displaystyle \frac{1}{2}}.$

β)

i) Η συνάρτηση $f$ έχει τύπο $f(x)=({\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^x$ και είναι εκθετική με βάση $0<a<1$ οπότε θα είναι μία γνησίως φθίνουσα συνάρτηση.

ii) H συνάρτηση $f$ είναι γνησίως φθίνουσα και ισχύει $\sqrt{2}<\sqrt{3},$ οπότε θα έχουμε ότι $f(\sqrt{2})>f(\sqrt{3})\Rightarrow a^{\sqrt{2}}>a^{\sqrt{3}}$.