ΛΥΣΗ
α) Η $C$ έχει εστίες τα σημεία ${\rm E}(5,0)$, ${{\rm E}}^{\prime }(-5,0)$ οπότε έχει εξίσωση της μορφής ${\displaystyle \frac{x^2}{{\alpha }^2}}-{\displaystyle \frac{y^2}{{\beta }^2}}=1$ και $\gamma =5$. Αφού διέρχεται από το σημείο ${\rm A}(4,0)$ έχουμε ότι:

$${\displaystyle \frac{4^2}{{\alpha }^2}}-{\displaystyle \frac{0^2}{{\beta }^2}}=1$$ $$\iff {\displaystyle \frac{16}{{\alpha }^2}}=1$$ $$\iff {\alpha }^2=16$$

και επειδή $\alpha >0$ έχουμε τελικά ότι $\alpha =4$. Συνεπώς έχει εκκεντρότητα:

$$\epsilon ={\displaystyle \frac{\gamma }{\alpha }}={\displaystyle \frac{5}{4}}$$

β) Από τη σχέση ${\gamma }^2={\alpha }^2+{\beta }^2$ έχουμε ότι:

$$5^2=4^2+{\beta }^2$$ $$\iff {\beta }^2=9$$

και επειδή $\beta >0$ έχουμε $\beta =3$.

Τελικά η ζητούμενη εξίσωση είναι η:

$${\displaystyle \frac{x^2}{16}}-{\displaystyle \frac{y^2}{9}}=1$$

γ) Η εφαπτόμενη στο ${\rm M}(5,{\displaystyle \frac{9}{4}})$ έχει εξίσωση:

$${\displaystyle \frac{5\cdot x}{16}}-{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{9}{4}}\cdot y}{9}}=1$$ $$\iff {\displaystyle \frac{5x}{16}}-{\displaystyle \frac{y}{4}}=1$$