ΛΥΣΗ

α) Η υπερβολή $C$ έχει κέντρο το $(0,0)$ και εστίες στον άξονα $x{x}^{\prime }$, οπότε θα έχει ασύμπτωτες της μορφής $y={\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}x\hspace{0.33em},\hspace{0.33em}y=-{\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}x$. Αφού το ορθογώνιο βάσης είναι τετράγωνο, συμπεραίνουμε ότι $\alpha =\beta$ δηλαδή είναι ισοσκελής υπερβολή. Συνεπώς:

1. οι εξισώσεις των ασυμπτώτων της υπερβολής $C$ είναι $y=x,y=-x$.
2. για την εκκεντρότητα $\epsilon$ της $C$ ισχύει ότι ${\epsilon }^2=1+({\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}{)}^2=1+1=2$ και επειδή $\epsilon >0$ έχουμε τελικά ότι $\epsilon =\sqrt{2}$.

β) Αφού η $(\zeta )$ είναι παράλληλη σε κάποια εκ των ασύμπτωτων της $C$, θα έχει εξίσωση της μορφής $y=x+\kappa$ ή $y=-x+\kappa$ με $\kappa \ne 0$. Η ισοσκελής υπερβολή $C$ θα έχει εξίσωση της μορφής $x^2-y^2={\alpha }^2$. Αφού διέρχεται από το σημείο $(2,0)$ έχουμε ότι:

$$2^2-0^2={\alpha }^2$$ $$\iff 4={\alpha }^2$$ $$\stackrel{\alpha >0}{\iff }\alpha =2$$

Το πλήθος των κοινών σημείων της $C$ και της ευθείας $(\zeta )$ είναι ίδιο με το πλήθος των λύσεων καθενός από τα συστήματα $\{\begin{array}{l}{x}^2-y^2=4\\ y=x+\kappa \end{array}$ και $\{\begin{array}{l}{x}^2-y^2=4\\ y=-x+\kappa \end{array}$.

Λύνουμε το 1ο σύστημα με αντικατάσταση της 2ης εξίσωσης στην 1η και έχουμε:

$$x^2-(x+\kappa {)}^2=4$$ $$\iff x^2-x^2-2x\kappa -{\kappa }^2=4$$ $$\iff -2x\kappa =4+{\kappa }^2$$ $$\stackrel{\kappa \ne 0}{\iff }x=-{\displaystyle \frac{4+{\kappa }^2}{2\kappa }}$$

και από τη 2η εξίσωση έχουμε ότι:

$$y=-{\displaystyle \frac{4+{\kappa }^2}{2\kappa }}+\kappa$$

Ομοίως λύνουμε το 2ο σύστημα με αντικατάσταση της 2ης εξίσωσης στην 1η και έχουμε:

$$x^2-(-x+\kappa {)}^2=4$$ $$\iff x^2-x^2+2x\kappa -{\kappa }^2=4$$ $$\iff 2x\kappa =4+{\kappa }^2$$ $$\stackrel{\kappa \ne 0}{\iff }x={\displaystyle \frac{4+{\kappa }^2}{2\kappa }}$$

και από τη 2η εξίσωση έχουμε ότι:

$$y=-{\displaystyle \frac{4+{\kappa }^2}{2\kappa }}+\kappa$$

1. Σε κάθε περίπτωση το σύστημα έχει μοναδική λύση που σημαίνει ότι η $(\zeta )$ έχει ένα μόνο κοινό σημείο με την $C$.

2. Επειδή σε κάθε περίπτωση η μοναδική λύση του συστήματος προέκυψε από εξίσωση 1ου βαθμού και όχι από 2ου με διακρίνουσα $0$, η ευθεία $(\zeta )$ δεν είναι εφαπτόμενη της $C$. Απλά την τέμνει σε ένα σημείο χωρίς όμως το σημείο αυτό να είναι σημείο επαφής. Δηλαδή η $(\zeta )$ διαπερνά τη $C$.

Σημείωση: το παραπάνω συμπέρασμα ισχύει για κάθε υπερβολή και ευθεία παράλληλη σε κάποια από τις ασύμπτωτες και όχι μόνο για τις ισοσκελείς.