α) Η εξίσωση \((1)\) είναι της μορφής \(\dfrac{x^2}{α^2}+\dfrac{y^2}{β^2}=1\), όπου \(α^2= 9\) και \(β^2=4\).
i. Για να βρούμε τα σημεία τομής της έλλειψης αυτής με τον άξονα \(x'x\) θέτουμε στην εξίσωση \((1)\) \(y=0\). Έτσι έχουμε

$$\frac{x^2}{9}=1$$ $$\iff x^2=9$$ $$\iff x=\pm3.$$

Τα σημεία τομής με τον άξονα \(x'x\) είναι, λοιπόν, τα σημεία \(Κ(3,0)\) και \(Κ'(-3,0)\). Αντίστοιχα, για να βρούμε τα σημεία τομής της έλλειψης αυτής με τον άξονα \(y'y\) θέτουμε στην εξίσωση \((1)\) \(x=0\). Έτσι έχουμε

$$\frac{y^2}{4}=1$$ $$\iff y^2=4$$ $$\iff y=\pm2.$$

Επομένως, τα σημεία τομής με τον άξονα \(y'y\) είναι τα σημεία \(B(0,2)\) και \(Β'(0,-2)\).
ii. Η εξίσωση \((1)\) παριστάνει έλλειψη με εστίες στον άξονα \(x'x\). Οπότε οι εστίες έχουν συντεταγμένες \(Ε(γ,0)\) και \(Ε'(-γ,0)\), όπου \(γ=\sqrt{α^2-β^2}=\sqrt{5}\). Άρα οι εστίες της, \(Ε\) και \(Ε'\), έχουν συντεταγμένες \(Ε(\sqrt{5},0)\) και \(Ε'(-\sqrt{5},0).\)

β)

Το σημείο \(Α(0,4)\) είναι εξωτερικό σημείο της έλλειψης, αφού είναι σημείο στον άξονα \(y'y\) και η έλλειψη που μας δόθηκε τέμνει τον άξονα \(y'y\) στα σημεία \(Β(0,2)\) και \(Β'(0,-2)\). Θεωρούμε \(Μ(x_1, y_1)\) το σημείο επαφής. Η εξίσωση της εφαπτόμενης \((ε)\) στο σημείο \(Μ\) θα είναι της μορφής

$$\frac{xx_1}{9}+\frac{yy_1}{4}=1\iff 4xx_1+9yy_1=36.$$

Η ευθεία \((ε)\) διέρχεται από το σημείο \(Α(0,4)\), οπότε οι συντεταγμένες του σημείου \(Α\) επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας \((ε)\). Ισχύει δηλαδή

$$4\cdot0 x_1 +9\cdot 4y_1 = 36\iff y_1 = 1.$$

Επιπλέον, το σημείο \(Μ(x_1, y_1)\) είναι σημείο της έλλειψης, οπότε οι συντεταγμένες του ικανοποιούν την εξίσωση \((1)\). Άρα ισχύει

\begin{align}&\frac{x_1^2}{9}+\frac{y_1^2}{4}=1\\ \iff&\frac{x_1^2}{9}+\frac{1^2}{4}=1\\ \iff&\frac{x_1^2}{9}=\frac{3}{4}\\ \iff&x_1=\pm\frac{3\sqrt{3}}{2}.\end{align}

Για \(x_1=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\) και \(y_1=1\), έχουμε την εφαπτόμενη \((ε_1)\) με εξίσωση

$$4\frac{3\sqrt{3}}{2}x+9y=36\iff 2\sqrt{3}+3y=12.$$

Για \(x_1=-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\) και \(y_1=1\), έχουμε την εφαπτόμενη \((ε_2)\) με εξίσωση

$$4\left(-\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)x+9y=36\iff -2\sqrt{3}x+3y=12.$$

Άρα, οι δύο εφαπτόμενες της έλλειψης που διέρχονται από το σημείο \(Α(0,4)\) είναι οι:

$$2\sqrt{3}+3y=12$$ $$\text{και } -2\sqrt{3}x+3y=12$$