α) Για κάθε \(x_{1},x_{2}∈\mathbb{R}\) με \(x_{1}\lt x_{2}\) έχουμε:

$$\begin{align} e^{x_{1}} & \lt e^{x_{2}}\\ \Leftarrow e^{x_{1}}-1&\lt e^{x_{2}}-1\\ \Leftarrow f(x_{1})&\lt f(x_{2})\end{align}$$

Άρα, η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα στο \(\mathbb{R}\), οπότε είναι \(1-1\), άρα αντιστρέφεται.

β) Αν \(f(x)=y\), τότε έχουμε:

$$\begin{align} & f(x)=y \\ \Leftrightarrow & e^{x}-1=y\\ \Leftrightarrow & e^{x}=y+1\\ \Leftrightarrow & \begin{cases} x=\ln(y+1)\\ y+1>0 \end{cases}\\ \Leftrightarrow & \begin{cases} x=\ln(y+1)\\ y>-1 \end{cases}\end{align}$$

Άρα \(f^{-1}(x)=\ln(x+1),\ x>-1\).

γ) Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων \(f,f^{-1}\) είναι συμμετρικές ως προς την \(y=x\), οπότε η γραφική παράσταση της \(f^{-1}\) προκύπτει αφού φέρουμε την διχοτόμο \(y=x\) και θεωρήσουμε τη συμμετρική της \(C_{f}\), όπως φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί.

Σχόλιο
Στο σχήμα φαίνεται και μια εναλλακτική προσέγγιση του ερωτήματος, αφού η γραφική παράσταση της \(f^{-1}\), με βάση τον τύπο της, μπορεί να προκύψει από μετατόπιση της \(y=\ln x\) κατά μια μονάδα προς τα αριστερά.
Σε κάθε περίπτωση, αποδεικνύεται ότι οι γραφικές παραστάσεις των \(f,f^{-1}\) έχουν κοινή εφαπτομένη την διχοτόμο \(y=x\).