Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 14354 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού Τάξη: Γ' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 23196 Θέμα: 2
Τελευταία Ενημέρωση: 04-Μαρ-2023 Ύλη: 1.3 Μονότονες συναρτήσεις - Αντίστροφη συνάρτηση 1.7 Όρια συνάρτησης στο άπειρο
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Γ' Λυκείου
Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού
Θέμα: 2
Κωδικός Θέματος: 23196
Ύλη: 1.3 Μονότονες συναρτήσεις - Αντίστροφη συνάρτηση 1.7 Όρια συνάρτησης στο άπειρο
Τελευταία Ενημέρωση: 04-Μαρ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 2

Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ex1,xR.
α) Να αποδείξετε ότι αντιστρέφεται.
(Μονάδες 7)

β) Να βρείτε την f1.
(Μονάδες 9)

γ) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f και της ευθείας y=x, η οποία εφάπτεται της Cf στο μοναδικό κοινό τους σημείο, την αρχή των αξόνων. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f1.
(Μονάδες 9)

α) Για κάθε x1,x2R με x1<x2 έχουμε:

ex1<ex2ex11<ex21f(x1)<f(x2)

Άρα, η f είναι γνησίως αύξουσα στο R, οπότε είναι 11, άρα αντιστρέφεται.

β) Αν f(x)=y, τότε έχουμε:

f(x)=yex1=yex=y+1{x=ln(y+1)y+1>0{x=ln(y+1)y>1

Άρα f1(x)=ln(x+1), x>1.

γ) Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f,f1 είναι συμμετρικές ως προς την y=x, οπότε η γραφική παράσταση της f1 προκύπτει αφού φέρουμε την διχοτόμο y=x και θεωρήσουμε τη συμμετρική της Cf, όπως φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί.

Σχόλιο
Στο σχήμα φαίνεται και μια εναλλακτική προσέγγιση του ερωτήματος, αφού η γραφική παράσταση της f1, με βάση τον τύπο της, μπορεί να προκύψει από μετατόπιση της y=lnx κατά μια μονάδα προς τα αριστερά.
Σε κάθε περίπτωση, αποδεικνύεται ότι οι γραφικές παραστάσεις των f,f1 έχουν κοινή εφαπτομένη την διχοτόμο y=x.