ΘΕΜΑ 4
4.1. Κατά την διάρκεια της κρούσης το σύστημα θεωρείται μονωμένο και ισχύει η Α.Δ.Ο.:

$${\overrightarrow{P}}_{\text{πριν}}={\overrightarrow{P}}_{\text{μετα}}$$

$$m\upsilon +0=(m+M)V_{\text{συσ}}$$ $$\iff 50\cdot {10}^{-3}kg\cdot 200\cdot \sqrt{15}{\displaystyle \frac{m}{s}}=5kg\cdot V_{\text{συσ}}$$ $$\iff V_{\text{συσ}}=2\cdot \sqrt{15}{\displaystyle \frac{m}{s}}$$

Μονάδες 7

4. 2. Αμέσως μετά την κρούση το συσσωμάτωμα εκτελεί επιβραδυνόμενη κίνηση, λόγω της δύναμης του ελατηρίου και της δύναμης αντίστασης που του ασκούνται, όπως φαίνεται στο σχήμα:

Αρχικά υπολογίζουμε το μέτρο της δύναμης αντίστασης:

$$F_{\alpha \nu }=0,1m_{\text{συσ}}g=0,1\cdot (m+M)\cdot g$$ $$\iff F_{\alpha \nu }=5N$$

Εφαρμόζουμε Θ.Μ.Κ.Ε. για το συσσωμάτωμα, από την θέση Φ.Μ. του ελατηρίου όπου έγινε η κρούση έως την θέση που σταματά στιγμιαία.

$$\Delta K=\Sigma W$$ $$\iff K_{\text{τελ}}-{{\rm K}}_{\text{αρχ}}=W_w+W_N+W_{F_{\text{ελ}}}+W_{F_{\text{αν}}}$$ $$\iff 0-{\displaystyle \frac{1}{2}}(m+M)V_{\sigma \upsilon \sigma }^2=0+0+(U_{\alpha \rho \chi }^{\epsilon \lambda }-U_{\tau \epsilon \lambda }^{\epsilon \lambda })-F_{\alpha \nu }\Delta l_{\text{max}}$$ $$\iff -{\displaystyle \frac{1}{2}}(m+M)V_{\sigma \upsilon \sigma }^2=-{\displaystyle \frac{1}{2}}k\Delta l_{max}^2-F_{\alpha \nu }\Delta l_{\text{max}}$$ $$\iff 150J=5{\displaystyle \frac{N}{m}}\cdot \Delta l_{max}^2+5N\cdot \Delta l_{\text{max}}$$ $$\iff \Delta l_{max}^2+\Delta l_{\text{max}}-30=0$$ $$\iff \Delta l_{\text{max}}={\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot (-30)}}{2}}$$ $$\iff \Delta l_{\text{max}}=5m$$

Η τιμή $\Delta l_{\text{max}}=5m$ αναφέρεται στη ζητούμενη συσπείρωση του ελατηρίου.
Η αρνητική τιμή που προκύπτει αντιστοιχεί στην μέγιστη επιμήκυνση του ελατηρίου η οποία δεν ζητείται.
Μονάδες 9

4. 3. Η εξίσωση ταλάντωσης είναι της μορφής :

$$x=A\eta \mu (\omega t+{\phi }_0)$$

Για το πλάτος της ταλάντωσης είναι:

$${\rm A}=\Delta l_{\text{max}}=5m$$

Επίσης ισχύει:

$$D=k=(m+M){\omega }^2$$ $$\iff \omega =\sqrt{{\displaystyle \frac{k}{m+M}}}=\sqrt{2}{\displaystyle \frac{rad}{s}}$$

Και για την αρχική φάση:

$$\text{Για }t=0\text{ , }x=A=5m$$ $$5m=5m\cdot \eta \mu (\omega \cdot 0+{\phi }_0)$$ $$\iff \eta \mu {\phi }_0=1=\eta \mu {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ $${\phi }_0=2\kappa \pi +{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{και}{\phi }_0=2\kappa \pi +\pi -{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$

$${\phi }_0={\displaystyle \frac{\pi }{2}}rad$$

Οπότε η ζητούμενη εξίσωση ταλάντωσης θα είναι:

$$x=5\eta \mu (\sqrt{2}t+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\text{S.I.}$$

Η σχέση της συνισταμένης δύναμης στον ταλαντωτή με την απομάκρυνση είναι:

$$\Sigma F=-D\cdot x$$ $$\iff \Sigma F=-10\cdot x\text{S.I.}$$

Μονάδες 9