ΛΥΣΗ

α)
i.Ισχύει ότι $f^2(x)-5=x^2$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$ ή $f^2(x)=x^2+5$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$.

$$f(x)=0$$ $$\iff f^2(x)=0$$ $$\iff x^2+5=0\text{,}\text{αδύνατο}$$

Οπότε $f(x)\ne 0$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$.

ii.Η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο $R$ με $f(x)\ne 0$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$. Οπότε η $f$ διατηρεί πρόσημο στο $\mathbb{R}$. Δίνεται ότι $f(2)=3>0$, οπότε η συνάρτηση $f$ παίρνει μόνο θετικές τιμές για κάθε $x\in \mathbb{R}$. Ισχύει:

$$f^2(x)=x^2+5$$ $$\iff |f(x)|=\sqrt{x^2+5}$$

και επειδή η $f$ παίρνει μόνο θετικές τιμές για κάθε $x\in \mathbb{R}$, θα ισχύει $f(x)=\sqrt{x^2+5}$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$.

β)
i.Αν $g(x)=x^2–\sigma \upsilon \nu x$, με $x\in \mathbb{R}$, $g^{\prime }(x)=2x+\eta \mu x$ και $g^{″}(x)=2+\sigma \upsilon \nu x$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$. Παρατηρούμε ότι $g^{″}(x)>0$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$, αφού $1\le 2+\sigma \upsilon \nu x\le 3$, και η συνάρτηση $g^{\prime }(x)$ είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$, οπότε η συνάρτηση $g^{\prime }$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$.

Για $x<0$ ισχύει $g^{\prime }(x)<g^{\prime }(0)=0$, αφού η συνάρτηση $g^{\prime }$ είναι γνησίως αύξουσα, ενώ για $x>0$ ισχύει $g^{\prime }(x)>g^{\prime }(0)=0$. Άρα για τη συνάρτηση $g$ έχουμε:

$g$ συνεχής στο $(-\infty ,0]$ με $g^{\prime }(x)<0$ στο $(-\infty ,0)$, άρα η συνάρτηση $g$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $(-\infty ,0]$.

Αντίστοιχα $g$ συνεχής στο $[0,+\infty )$ με $g^{\prime }(x)>0$ στο $(0,+\infty )$, άρα η συνάρτηση $g$ είναι γνησίως αύξουσα στο $[0,+\infty )$.

(Η συνάρτηση $g$ παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο $0$ το $g(0)=-1$).

ii.Η εξίσωση $f^2(x)=5+\sigma \upsilon \nu x$ με $x\in \mathbb{R}$, γράφεται ισοδύναμα:

$$x^2+5=5+\sigma \upsilon \nu x$$ $$\iff x^2-\sigma \upsilon \nu x=0$$ $$\iff g(x)=0\text{με}x\in \mathbb{R}$$

Ζητείται να δείξουμε ότι η εξίσωση $g(x)=0$ έχει δύο ρίζες αντίθετες στο $(-\pi ,\pi )$ και δεν έχει άλλες ρίζες στο $\mathbb{R}$.
Η συνάρτηση $g$ είναι συνεχής στο $[0,\pi ]$, με:

$g(\pi )={\pi }^2–\sigma \upsilon \nu \pi ={\pi }^2+1>0$
$g(0)=-\sigma \upsilon \nu 0=-1<0$

Η συνάρτηση $g$ ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο διάστημα $[0,\pi ]$, οπότε η εξίσωση $g(x)=0$ έχει τουλάχιστον μια ρίζα $\rho \in (0,\pi )\subset (0,+\infty )$. Επιπλέον η συνάρτηση $g$ είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα $[0,+\infty )$, οπότε η ρίζα $\rho$ είναι μοναδική στο διάστημα αυτό.

Επειδή $g(-\rho )=(-\rho {)}^2-\sigma \upsilon \nu (-\rho )={\rho }^2–\sigma \upsilon \nu \rho =g(\rho )=0$, άρα και το $-\rho$ είναι ρίζα της εξίσωσης $g(x)=0$. Επειδή $0<\rho <\pi \iff -\pi <-\rho <0$, η ρίζα $-\rho$ της εξίσωσης $g(x)=0$ βρίσκεται στο διάστημα $(-\pi ,0)$.

Επιπλέον η ρίζα $-\rho$ είναι μοναδική ρίζα της εξίσωσης $g(x)=0$ στο διάστημα $(-\infty ,0]$ αφού η συνάρτηση $g$ είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα αυτό.

Άρα η εξίσωση $g(x)=0\iff x^2-\sigma \upsilon \nu x=0\iff f^2(x)=5+\sigma \upsilon \nu x$ με $x\in \mathbb{R}$ έχει ακριβώς δύο ρίζες αντίθετες μεταξύ τους οι οποίες ανήκουν στο διάστημα $(-\pi ,\pi )$.