ΛΥΣΗ

α)
i.Ισχύει ότι \(f^{2}(x) - 5 = x^{2}\) για κάθε \(x \in \mathbb{R}\) ή \(f^{2}(x) = x^{2} + 5\) για κάθε \(x \in \mathbb{R}\).

$$f(x) = 0 $$ $$\Leftrightarrow f^{2} (x) = 0 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}+5=0\text{,}\ \ \text{αδύνατο}$$

Οπότε \(f(x) \ne 0\) για κάθε \(x \in \mathbb{R}\).

ii.Η συνάρτηση \(f\) είναι συνεχής στο \(R\) με \(f(x) \ne 0\) για κάθε \(x \in \mathbb{R}\). Οπότε η \(f\) διατηρεί πρόσημο στο \(\mathbb{R}\). Δίνεται ότι \(f(2) = 3>0\), οπότε η συνάρτηση \(f\) παίρνει μόνο θετικές τιμές για κάθε \(x \in \mathbb{R}\). Ισχύει:

$$f^{2} (x) = x^{2} + 5 $$ $$\Leftrightarrow |f(x)| = \sqrt{x^{2}+ 5}$$

και επειδή η \(f\) παίρνει μόνο θετικές τιμές για κάθε \(x \in \mathbb{R}\), θα ισχύει \(f(x) = \sqrt{x^{2}+ 5}\) για κάθε \(x \in \mathbb{R}\).

β)
i.Αν \(g(x) = x^{2} – συνx\), με \(x \in \mathbb{R}\), \(g'(x) = 2x + ημx\) και \(g''(x) = 2 + συνx\) για κάθε \(x \in \mathbb{R}\). Παρατηρούμε ότι \(g''(x) > 0\) για κάθε \(x \in \mathbb{R}\), αφού \(1≤ 2 + συνx≤ 3\), και η συνάρτηση \(g'(x)\) είναι συνεχής στο \(\mathbb{R}\), οπότε η συνάρτηση \(g'\) είναι γνησίως αύξουσα στο \(\mathbb{R}\).

Για \(x < 0\) ισχύει \(g'(x) < g'(0) = 0\), αφού η συνάρτηση \(g'\) είναι γνησίως αύξουσα, ενώ για \(x > 0\) ισχύει \(g'(x) > g'(0) = 0\). Άρα για τη συνάρτηση \(g\) έχουμε:

\(g\) συνεχής στο \((-∞, 0]\) με \(g'(x) < 0\) στο \((-∞, 0)\), άρα η συνάρτηση \(g\) είναι γνησίως φθίνουσα στο \((-∞, 0]\).

Αντίστοιχα \(g\) συνεχής στο \([0, +∞)\) με \(g'(x) > 0\) στο \((0, +∞)\), άρα η συνάρτηση \(g\) είναι γνησίως αύξουσα στο \([0, +∞)\).

(Η συνάρτηση \(g\) παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο \(0\) το \(g(0) = -1\)).

ii.Η εξίσωση \(f^{2}(x) = 5 + συνx\) με \(x \in \mathbb{R}\), γράφεται ισοδύναμα:

$$x^{2} + 5 = 5 + συνx$$ $$\Leftrightarrow x^{2} - συνx=0 $$ $$\Leftrightarrow g(x) = 0\ \ \text{με}\ \ x \in \mathbb{R}$$

Ζητείται να δείξουμε ότι η εξίσωση \(g(x) = 0\) έχει δύο ρίζες αντίθετες στο \((-π,π)\) και δεν έχει άλλες ρίζες στο \(\mathbb{R}\).
Η συνάρτηση \(g\) είναι συνεχής στο \([0,π]\), με:

\(g(π)= π^{2} – συνπ = π^{2} +1 >0\)
\(g(0) = -συν0 = -1 <0\)

Η συνάρτηση \(g\) ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο διάστημα \([0,π]\), οπότε η εξίσωση \(g(x) = 0\) έχει τουλάχιστον μια ρίζα \(ρ \in (0, π) ⊂(0, +∞)\). Επιπλέον η συνάρτηση \(g\) είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα \([0, +∞)\), οπότε η ρίζα \(ρ\) είναι μοναδική στο διάστημα αυτό.

Επειδή \(g(-ρ) = (-ρ)^2 - συν(-ρ) = ρ^2 – συνρ = g(ρ) = 0\), άρα και το \(-ρ\) είναι ρίζα της εξίσωσης \(g(x)=0\). Επειδή \(0 < ρ < π \Leftrightarrow -π < -ρ < 0\), η ρίζα \(-ρ\) της εξίσωσης \(g(x)=0\) βρίσκεται στο διάστημα \((-π, 0)\).

Επιπλέον η ρίζα \(-ρ\) είναι μοναδική ρίζα της εξίσωσης \(g(x)=0\) στο διάστημα \((-∞, 0]\) αφού η συνάρτηση \(g\) είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα αυτό.

Άρα η εξίσωση \(g(x)=0 \Leftrightarrow x^{2} - συνx=0 \Leftrightarrow f^{2} (x) = 5 + συνx\) με \(x \in \mathbb{R}\) έχει ακριβώς δύο ρίζες αντίθετες μεταξύ τους οι οποίες ανήκουν στο διάστημα \((-π,π)\).