ΛΥΣΗ

α) Η συνάρτηση \(f\) είναι συνεχής στο διάστημα \([-1,2]\) και παραγωγίσιμη στο \((-1,2)\), αφού είναι πολυωνυμική. Από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης \(f'\) παρατηρούμε ότι η \(f'\) είναι γνησίως φθίνουσα στο \((-1,2)\). Άρα, η \(f\) είναι κοίλη στο \([-1,2]\).

Όμοια, η συνάρτηση \(f\) είναι συνεχής στο διάστημα [ \(2,5]\) και παραγωγίσιμη στο \((2,5)\). Από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης \(f'\) παρατηρούμε ότι η \(f'\) είναι γνησίως αύξουσα στο \((2,5)\). Άρα, η \(f\) είναι κυρτή στο \([2,5]\).

β) H κλίση της συνάρτησης \(f\) στο \(x_{0}=2\) ισούται με \(f'(2)\) Από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης \(f'\) παρατηρούμε ότι \(f'(2)=-1\).

γ) H εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \(f\) στο σημείο της με τετμημένη \(x_{0}=2\) είναι:

$$y-f(2)=f'(2)(x-2)$$

Δίνεται ότι:

$$3f(2)-1=0 $$ $$\Leftrightarrow f(2)=\dfrac{1}{3}$$

Οπότε:

$$y-\dfrac{1}{3}=-1(x-2) $$ $$\Leftrightarrow y=-x+2+\dfrac{1}{3} $$ $$\Leftrightarrow y=-x+\dfrac{7}{3}$$