ΛΥΣΗ

α) Η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο διάστημα $[-1,2]$ και παραγωγίσιμη στο $(-1,2)$, αφού είναι πολυωνυμική. Από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f^{\prime }$ παρατηρούμε ότι η $f^{\prime }$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $(-1,2)$. Άρα, η $f$ είναι κοίλη στο $[-1,2]$.

Όμοια, η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο διάστημα [ $2,5]$ και παραγωγίσιμη στο $(2,5)$. Από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f^{\prime }$ παρατηρούμε ότι η $f^{\prime }$ είναι γνησίως αύξουσα στο $(2,5)$. Άρα, η $f$ είναι κυρτή στο $[2,5]$.

β) H κλίση της συνάρτησης $f$ στο $x_0=2$ ισούται με $f^{\prime }(2)$ Από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f^{\prime }$ παρατηρούμε ότι $f^{\prime }(2)=-1$.

γ) H εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f$ στο σημείο της με τετμημένη $x_0=2$ είναι:

$$y-f(2)=f^{\prime }(2)(x-2)$$

Δίνεται ότι:

$$3f(2)-1=0$$ $$\iff f(2)={\displaystyle \frac{1}{3}}$$

Οπότε:

$$y-{\displaystyle \frac{1}{3}}=-1(x-2)$$ $$\iff y=-x+2+{\displaystyle \frac{1}{3}}$$ $$\iff y=-x+{\displaystyle \frac{7}{3}}$$