ΛΥΣΗ

α) Η συνάρτηση \(f\) είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της, άρα και στο κλειστό διάστημα \([1,2]\) ως αθροίσματα γινομένων πολυωνυμικής με εκθετική και λογαριθμική.

• \(f(1)=(1-2)e^{1}+(1-1)\ln1 = -e < 0\)
• \(f(2)=(2-2)e^{2}+(2-1)\ln2 = \ln2>0\) γιατί \(1<2\), οπότε \(\ln1<\ln2\), αφού η \(\ln{x}\) είναι συνάρτηση γνησίως αύξουσα στο \((0, +\infty)\) και επειδή \(\ln1=0\), έχουμε ότι \(\ln2>0\).

Άρα \(f(1) \cdot f(2) < 0\), επομένως από Θεώρημα Bolzano η εξίσωση \(f(x)=0\) έχει μία τουλάχιστον ρίζα \(x_0 \in (1,2)\), δηλαδή η γραφική παράσταση της \(f\) τέμνει τον άξονα \(x’x\) σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη \(x_0 \in (1,2)\).

β) Η συνάρτηση \(f\) είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της, ως αθροίσματα γινομένων πολυωνυμικής με εκθετική και λογαριθμική, με:

$$f'(x)=e^{x}+(x-2)e^{x}+\ln{x}+\dfrac{x-1}{x}$$ $$= e^{x}(1+x-2)+\ln{x}+\dfrac{x-1}{x}$$ $$= e^{x}(x-1)+\ln{x}+\dfrac{x-1}{x} >=0$$ $$= (x-1)\left(e^{x}+\dfrac{1}{x}\right)+\ln{x}$$

Για να υπάρχει μοναδικό σημείο της \(C_f\) στο οποίο η εφαπτομένη ευθεία θα είναι οριζόντια, δηλαδή παράλληλη στον \(x’x\), θα πρέπει η εξίσωση \(f'(x)=0\) να έχει μοναδική ρίζα.

Παρατηρούμε ότι το \(1\) είναι προφανής ρίζα της εξίσωσης \(f'(x)=0\), αφού:

$$f'(1)=(1-1)(e+1)+\ln1=0$$

• \(f'(x)>0\) γιατί για \(x>1\) είναι \(\ln{x}>0\) και \((x-1)\left(e^{x}+\dfrac{1}{x}\right)>0\), αφού \(\left(e^{x}+\dfrac{1}{x}\right)>0\) για κάθε \(x>0\) και
• \(f'(x)<0\) γιατί για \(0<x<1\) είναι \(\ln{x}<0\) και \((x-1)\left(e^{x}+\dfrac{1}{x}\right)<0\)

Κάνοντας τον πίνακα προσήμου της \(f'\) έχουμε:

Άρα η \(f\) είναι γνησίως φθίνουσα συνάρτηση στο \((0,1]\) και γνησίως αύξουσα στο \([1,+\infty)\).

Επομένως, αν \(Δ_1= (0,1]\), τότε \(f(Δ_{1})=[f(1), \lim_{x\rightarrow 0} f(x)) = [-e,+\infty)\)

Γιατί:

$$\underset{x\rightarrow 0}{\lim}{f(x)=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}{[(x-2)e^{x}+(x-1)\ln{x}]}}=+\infty $$

Αφού:

$$\underset{x\rightarrow 0}{\lim}(x-2)e^{x}=2e^{0}=-2$$

και:

$$\underset{x\rightarrow 0}{\lim}{(x-1)\ln{x}=-1(-\infty)=+\infty }$$

Αν \(Δ_2= [1,+\infty)\), τότε:

$$f(Δ_{2})=[f(1), \lim_{x\rightarrow +\infty } f(x)] = [-e,+ \infty)$$

Γιατί:

$$\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim}{f(x)=\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim}{[(x-2)e^{x}+(x-1)\ln{x}]=+\infty }}$$

Αφού:

$$\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim}(x-2)e^{x}=(+\infty)\cdot (+\infty)=+\infty $$

και:

$$\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim}{(x-1)\cdot \ln{x}}=(+\infty)\cdot (+\infty)=+\infty $$

Το \(0 \in [-e,+\infty) = f(Δ_{1})\), άρα υπάρχει ένα \(x_1 \in (0,1]\) τέτοιο ώστε \(f(x_{1})=0\), το οποίο είναι και μοναδικό γιατί η \(f\) είναι γνησίως φθίνουσα στο \((0,1]\).

Το \(0 \in [-e,+\infty) = f(Δ_{2})\), άρα υπάρχει ένα \(x_2 \in [1,+\infty)\) τέτοιο ώστε \(f(x_{2})=0\), το οποίο είναι επίσης μοναδικό γιατί η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα στο \([1,+\infty)\).

Επομένως, η γραφική παράσταση της \(f\) τέμνει πράγματι τον άξονα \(x’x\) σε δύο ακριβώς σημεία τα \(x_{1}\) και \(x_{2}\) και το \(x_{2}\) είναι το \(x_{0}\) του α) ερωτήματος.