ΛΥΣΗ

α)
i.Είναι:

$$\underset{x\rightarrow 1}{lim⁡}{\dfrac{lnx}{x-1}}=\underset{x\rightarrow 1}{lim⁡}{\dfrac{(lnx)'}{(x-1)'}}$$ $$=\underset{x\rightarrow 1}{lim⁡}{\dfrac{\dfrac{1}{x}}{1}}$$ $$=\underset{x\rightarrow 1}{\lim}{\dfrac{1}{x}}=1$$

ii.Είναι:

$$f(x)=f(x)\cdot \dfrac{x-1}{lnx}\cdot \dfrac{lnx}{x-1}$$ $$=\dfrac{f(x)(x-1)}{lnx}\cdot \dfrac{lnx}{x-1}$$

Άρα:

$$\underset{x\rightarrow 1}{\lim}{f(x)}=\underset{x\rightarrow 1}{\lim}{\left(\dfrac{f(x)(x-1)}{lnx}\cdot \dfrac{lnx}{x-1}\right)}$$ $$=\left(\underset{x\rightarrow 1}{lim⁡}{\dfrac{f(x)(x-1)}{lnx}}\right)\cdot \left(\underset{x\rightarrow 1}{lim⁡}{\dfrac{lnx}{x-1}}\right)$$

Επομένως έχουμε:

$$\underset{x\rightarrow 1}{\lim}{f(x)}=0\cdot 1=0$$

Η συνάρτηση \(f\) είναι συνεχής στο \(R\) ως παραγωγίσιμη, επομένως είναι:

$$\underset{x\rightarrow 1}{\lim}{f(x)}=f(1) $$ $$\Leftrightarrow f(1)=0$$

2ος τρόπος:
Η συνάρτηση \(f\) είναι συνεχής στο \(R\) ως παραγωγίσιμη, επομένως είναι:

$$\underset{x\rightarrow 1}{\lim}{f(x)}=f(1)$$

Αρκεί λοιπόν να αποδείξουμε ότι:

$$\underset{x\rightarrow 1}{\lim}{f(x)}=0$$

Θεωρούμε συνάρτηση \(g\) με \(g(x)=\dfrac{f(x)(x-1)}{lnx}\), οπότε είναι:

$$f(x)=\dfrac{g(x)lnx}{x-1}\text{,}\ \ x∈(0,1)∪(1,+∞)$$

Επειδή είναι:

$$\underset{x\rightarrow 1}{\lim}{g(x)}=0$$

και:

$$\underset{x\rightarrow 1}{lim⁡}{\dfrac{lnx}{x-1}}=\underset{x\rightarrow 1}{lim⁡}{\dfrac{(lnx)'}{(x-1)'}}$$ $$=\underset{x\rightarrow 1}{lim⁡}{\dfrac{\dfrac{1}{x}}{1}}$$ $$=\underset{x\rightarrow 1}{\lim}{\dfrac{1}{x}}=1$$

Έχουμε:

$$\underset{x\rightarrow 1}{\lim}{f(x)=}\underset{x\rightarrow 1}{\lim}{g(x)}\cdot \underset{x\rightarrow 1}{\lim}{\dfrac{lnx}{x-1}}$$ $$=0\cdot 1=0$$

β) Το \(1\) είναι ρίζα της εξίσωσης \(f(x)=0\), διότι \(f(1)=0\).

Επιπλέον, επειδή \(f'(x)=\sqrt{x^{2}+1}>0\) για κάθε \(x∈R\), η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα στο \(R\) και ως εκ τούτου είναι «1 – 1». Επομένως η εξίσωση \(f(x)=0\) έχει μία το πολύ ρίζα. Συνδυάζοντας τα παραπάνω προκύπτει ότι η εξίσωση \(f(x)=0\) έχει μία ακριβώς ρίζα, το \(1\).

γ) Η συνάρτηση \(f\) είναι γνησίως αύξουσα στο \(R\) και \(f(1)=0\). Επομένως, έχουμε:

$$x>1 $$ $$\Leftrightarrow f(x)>f(1) $$ $$\Leftrightarrow f(x)>0$$

Και:

$$x < 1 $$ $$\Leftrightarrow f(x) < f(1) $$ $$\Leftrightarrow f(x) < 0$$

δ) Είναι \(f(x)≤0, x∈[0,1]\). Επομένως:

$$Ε=\operatorname{\Large\int}_{0}^{1}|f(x)|dx$$ $$=\operatorname{\Large\int}_{0}^{1}-f(x)dx$$ $$=-\operatorname{\Large\int}_{0}^{1}1\cdot f(x)dx$$ $$=-\operatorname{\Large\int}_{0}^{1}(x)'\cdot f(x)dx$$ $$=-\left[xf(x)\right]_{0}^{1}+\operatorname{\Large\int}_{0}^{1}x\cdot f'(x)dx$$ $$=-\left[xf(x)\right]_{0}^{1}+\operatorname{\Large\int}_{0}^{1}x\cdot \sqrt{x^{2}+1}dx$$ $$=-\left[xf(x)\right]_{0}^{1}+\dfrac{1}{2}\operatorname{\Large\int}_{0}^{1}2x\cdot (x^{2}+1)^{1/2}dx$$ $$=-\left[xf(x)\right]_{0}^{1}+\dfrac{1}{2}\operatorname{\Large\int}_{0}^{1}(x^{2}+1)^{1/2}\cdot (x^{2}+1)'dx$$ $$=-\left[xf(x)\right]_{0}^{1}+\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{(x^{2}+1)^{\dfrac{3}{2}}}{3/2}\right]_{0}^{1}$$ $$=-(1\cdot 0-0\cdot f(0))+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2}{3}(2^{3/2}-1)$$ $$=\dfrac{1}{3}(2\sqrt{2}-1)$$

Σχόλιο: Εναλλακτικά για τον υπολογισμό του \(\operatorname{\Large\int}_{0}^{1}x\cdot \sqrt{x^{2}+1}dx\) μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο αντικατάστασης, θέτοντας \(u=\sqrt{x^{2}+1}\).