ΛΥΣΗ

α) Η συνάρτηση \(f\) ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα \([1,2]\), διότι:

• είναι συνεχής στο \([1,2]\) ως πολυωνυμική
• είναι παραγωγίσιμη στο \((1,2)\) με \(f'(x)=4x^{3}-9x^{2}-2x+9\) και
• ισχύει \(f(1)=f(2)=6\).

β) Αφού, λοιπόν, για τη συνάρτηση \(f(x)=x^{4}-3x^{3}-x^{2}+9x\) ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle, θα υπάρχει ένα, τουλάχιστον, \(ξ∈(1,2)\) τέτοιο, ώστε \(f'(ξ)=0\) ή ισοδύναμα \(4ξ^{3}-9ξ^{2}-2ξ+9=0\).

Επομένως, το \(ξ∈(1,2)\) είναι ρίζα της εξίσωσης \(4x^{3}-9x^{2}-2x+9=0\).