ΛΥΣΗ

α) Τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης $f$ στο διάστημα $[0,2]$, είναι τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος στα οποία η $f$ δεν παραγωγίζεταιή η παράγωγός της είναι ίση με το μηδέν.

Η συνάρτηση $f$ είναι παραγωγίσιμη άρα και συνεχής, με $f^{\prime }(x)=4x^3-4$ για κάθε $x\in [0,2]$. Είναι:

$$f^{\prime }(x)=0$$ $$\iff 4x^3-4=0$$ $$\iff x^3=1$$ $$\iff x=1$$

Επομένως, η $f$ έχει ένα μόνο κρίσιμο σημείο, το $x_0=1$.

β) Γνωρίζουμε ότι αν μία συνάρτηση $f$ είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα, τότε σύμφωνα με το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής, παρουσιάζει μέγιστο και ελάχιστο. Για την εύρεση του μέγιστου και του ελάχιστου εργαζόμαστε ως εξής:

• Βρίσκουμε τα κρίσιμα σημεία της $f$.
• Υπολογίζουμε τις τιμές της $f$ στα σημεία αυτά και στα άκρα του διαστήματος.
• Από αυτές τις τιμές, η μεγαλύτερη είναι το μέγιστο και η μικρότερη το ελάχιστο της $f$.

Οι τιμές της $f$ στο κρίσιμο σημείο της $x_0=1$ και στα άκρα του διαστήματος $[0,2]$ είναι:

$$f(1)=-1\text{,}f(0)=2\text{και}f(2)=10$$

Άρα, η μέγιστη τιμή της $f$ στο $[0,2]$ είναι ίση με 10 και η ελάχιστη τιμή της $f$ στο $[0,2]$ είναι ίση με $-1$.