ΛΥΣΗ

α) Τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης \(f\) στο διάστημα \([0,2]\), είναι τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος στα οποία η \(f\) δεν παραγωγίζεταιή η παράγωγός της είναι ίση με το μηδέν.

Η συνάρτηση \(f\) είναι παραγωγίσιμη άρα και συνεχής, με \(f'(x)=4x^{3}-4\) για κάθε \(x∈[0,2]\). Είναι:

$$f'(x)=0 $$ $$\Leftrightarrow 4x^{3}-4=0 $$ $$\Leftrightarrow x^{3}=1 $$ $$\Leftrightarrow x=1$$

Επομένως, η \(f\) έχει ένα μόνο κρίσιμο σημείο, το \(x_{0}=1\).

β) Γνωρίζουμε ότι αν μία συνάρτηση \(f\) είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα, τότε σύμφωνα με το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής, παρουσιάζει μέγιστο και ελάχιστο. Για την εύρεση του μέγιστου και του ελάχιστου εργαζόμαστε ως εξής:

• Βρίσκουμε τα κρίσιμα σημεία της \(f\).
• Υπολογίζουμε τις τιμές της \(f\) στα σημεία αυτά και στα άκρα του διαστήματος.
• Από αυτές τις τιμές, η μεγαλύτερη είναι το μέγιστο και η μικρότερη το ελάχιστο της \(f\).

Οι τιμές της \(f\) στο κρίσιμο σημείο της \(x_{0}=1\) και στα άκρα του διαστήματος \([0,2]\) είναι:

$$f(1)=-1\text{,}\ \ f(0)=2\ \ \text{και}\ \ f(2)=10$$

Άρα, η μέγιστη τιμή της \(f\) στο \([0,2]\) είναι ίση με 10 και η ελάχιστη τιμή της \(f\) στο \([0,2]\) είναι ίση με \(-1\).