Θέμα: 32677

Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Πηγή: Ι.Ε.Π.	Αναγνώσθηκε: 18215 φορές Επικοινωνία
Μάθημα:	Άλγεβρα	Τάξη:	Β' Λυκείου
Κωδικός Θέματος:	32677	Θέμα:	4
Τελευταία Ενημέρωση:	24-Φεβ-2023	Ύλη:	2.1 Μονοτονία-Ακρότατα-Συμμετρίες Συνάρτησης 2.2 Κατακόρυφη-Οριζόντια Μετατόπιση Καμπύλης
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Β' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	32677
Ύλη:	2.1 Μονοτονία-Ακρότατα-Συμμετρίες Συνάρτησης 2.2 Κατακόρυφη-Οριζόντια Μετατόπιση Καμπύλης
Τελευταία Ενημέρωση: 24-Φεβ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)

Αρχείο Εκφώνησης (PDF) Αρχείο Εκφώνησης (DOC)

ΘΕΜΑ 4

Δίνονται οι συναρτήσεις $φ (x) = - x^{2}$ , $x \in R$ και $f (x) = - x^{2} + 2 x + 1$ , $x \in R$ .

α) Να αποδείξετε ότι $f (x) = - (x - 1)^{2} + 2$ για κάθε $x \in R$ και στη συνέχεια, με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $φ$ , που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση $f$ .

(Μονάδες 10)

β) Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f$ να βρείτε:

Τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση $f$ είναι γνησίως μονότονη.
(Μονάδες 5)
Το ολικό ακρότατο της $f$ καθώς και τη θέση του.
(Μονάδες 5)
Το πλήθος των ριζών της εξίσωσης $f (x) = κ, κ < 2$ . Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
(Μονάδες 5)

Εμφάνιση Απάντησης

Αρχείο Απάντησης (PDF) Αρχείο Απάντησης (DOC)

ΛΥΣΗ

α) Ο τύπος της συνάρτησης $f$ διαδοχικά γράφεται:

$\begin{aligned} f (x) & = - x^{2} + 2 x + 1 \\ = - x^{2} + 2 x - 1 + 2 \\ = - (x^{2} - 2 x + 1) + 2 \\ = - (x - 1)^{2} + 2 \end{aligned}$

Εναλλακτικά, ξεκινώντας από το ζητούμενο έχουμε:

$\begin{aligned} - (x - 1)^{2} + 2 & = - (x^{2} - 2 x + 1) + 2 \\ = - x^{2} + 2 x - 1 + 2 \\ = - x^{2} + 2 x + 1 \\ = f (x) \end{aligned}$

Παρατηρούμε ότι $f (x) = φ (x - 1) + 2$ . Άρα, η γραφική παράσταση της $f$ προκύπτει από μετατόπιση της γραφικής παράστασης της $φ$ κατά μία μονάδα δεξιά και δύο μονάδες επάνω:

β)

Από τη γραφική της παράσταση, προκύπτει ότι η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα $(- \infty, 1]$ και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα $[1, + \infty)$ .
Η $f$ παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο $x_{0} = 1$ το $f (1) = 2$ .
Οι ρίζες της εξίσωσης $f (x) = κ$ , $κ < 2$ είναι οι τετμημένες των σημείων τομής της γραφικής παράστασης της $f$ με την οριζόντια ευθεία $y = κ$ . Από τη γραφική παράσταση προκύπτει ότι για $κ < 2$ , υπάρχουν δύο σημεία τομής. Άρα, η εξίσωση έχει δύο ρίζες.