ΛΥΣΗ

α) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται ένα ορθογώνιο με περίμετρο \(Π=40\ cm\), το μήκος του είναι \(x\ cm\) και το πλάτος του \(y\ cm\), με \(x\), \(y>0\).

Τότε:

$$Π=40 $$ $$\Leftrightarrow 2x+2y=40 $$ $$\Leftrightarrow x+y=20 $$ $$\Leftrightarrow y=20-x$$

Όμως \(x\), \(y>0\), οπότε \(x>0\) και \(20-x>0 \Leftrightarrow x<20\). Τελικά \(0<x<20\).

β) Το εμβαδόν \(Ε(x)\) του ορθογωνίου είναι:
\(Ε=x\cdot y\), δηλαδή \(Ε(x)=x\cdot (20-x)=20x-x^{2}\).

γ) Έχουμε ισοδύναμα:

$$Ε(x)\le 100 $$ $$\Leftrightarrow 20x-x^{2}\le 100 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}-20x+100\ge 0 $$ $$\Leftrightarrow (x-10)^{2}\ge 0$$

που ισχύει για κάθε \(x\in (0,20)\).

δ) Από το γ) ερώτημα, \(Ε(x)\le 100\), για κάθε \(x\in (0,20)\). Άρα η μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να πάρει το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι \(100\ cm^{2}\).

Άρα:

$$Ε(x)=100 $$ $$\Leftrightarrow (x-10)^{2}=0 $$ $$\Leftrightarrow x=10$$

οπότε και \(y=20-x=20-10=10\), δηλαδή οι διαστάσεις του ορθογωνίου είναι \(x=y=10 \ cm\). Τελικά το μεγαλύτερο εμβαδόν το έχει το τετράγωνο πλευράς \(10\ cm\).