ΛΥΣΗ

α) Έχουμε:

$$\{\begin{array}{l}{\alpha }_3=10\\ {\alpha }_{20}=61\end{array}$$ $$\iff \{\begin{array}{l}{\alpha }_1+2\omega =10\\ {\alpha }_1+19\omega =61\end{array}$$ $$\stackrel{(-)}{\iff }\{\begin{array}{l}17\omega =51\\ {\alpha }_1+2\omega =10\end{array}$$ $$\iff \{\begin{array}{l}\omega =3\\ {\alpha }_1=4\end{array}$$

β) Έχουμε:

$${\alpha }_{\nu }=333$$ $$\iff {\alpha }_1+(\nu -1)\omega =333$$ $$\iff 4+(\nu -1)\cdot 3=333$$ $$\iff (\nu -1)={\displaystyle \frac{329}{3}}$$ $$\iff \nu ={\displaystyle \frac{332}{3}}\notin \mathbb{N}$$

Συνεπώς ο $333$ δεν είναι όρος της προόδου.

γ) Εάν οι $x$ και $y$ είναι διαδοχικοί όροι της παραπάνω προόδου (${\alpha }_{\nu }$) και εφόσον:

$${\displaystyle \frac{x}{2}}={\displaystyle \frac{y}{3}}$$ $$\iff 3x=2y<3y$$ $$\iff x<y$$

θα ισχύει $y=x+3$. Οπότε:

$${\displaystyle \frac{x}{2}}={\displaystyle \frac{y}{3}}$$ $$\iff {\displaystyle \frac{x}{2}}={\displaystyle \frac{x+3}{3}}$$ $$\iff 3x=2x+6$$ $$\iff x=6$$

Όμως ο $x=6$ δεν μπορεί να είναι όρος της παραπάνω προόδου, αφού:

$${\alpha }_{\nu }=6$$ $$\iff {\alpha }_1+(\nu -1)\omega =6$$ $$\iff 4+(\nu -1)\cdot 3=6$$ $$\iff (\nu -1)={\displaystyle \frac{2}{3}}$$ $$\iff \nu ={\displaystyle \frac{5}{3}}\notin \mathbb{N}$$

Άρα δεν υπάρχουν διαδοχικοί όροι $x$ και $y$ της παραπάνω προόδου ώστε να ισχύει ${\displaystyle \frac{x}{2}}={\displaystyle \frac{y}{3}}$.