ΛΥΣΗ

α) Έχουμε:

$$\begin{cases} α_{3}=10 \\ α_{20}=61 \end{cases} $$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} α_{1}+2ω=10 \\ α_{1}+19ω=61 \end{cases}$$ $$\overset{(-)}{ \Leftrightarrow }\begin{cases} 17ω=51 \\ α_{1}+2ω=10 \end{cases} $$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} ω=3 \\ α_{1}=4 \end{cases}$$

β) Έχουμε:

$$α_{ν}=333 $$ $$\Leftrightarrow α_{1}+(ν-1)ω=333 $$ $$\Leftrightarrow 4+(ν-1)\cdot 3=333 $$ $$\Leftrightarrow (ν-1)=\dfrac{329}{3} $$ $$\Leftrightarrow ν=\dfrac{332}{3}\notin \mathbb{N}$$

Συνεπώς ο \(333\) δεν είναι όρος της προόδου.

γ) Εάν οι \(x\) και \(y\) είναι διαδοχικοί όροι της παραπάνω προόδου (\(α_{ν}\)) και εφόσον:

$$\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3} $$ $$\Leftrightarrow 3x=2y < 3y $$ $$\Leftrightarrow x < y$$

θα ισχύει \(y=x+3\). Οπότε:

$$\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3} $$ $$\Leftrightarrow \dfrac{x}{2}=\dfrac{x+3}{3} $$ $$\Leftrightarrow 3x=2x+6 $$ $$\Leftrightarrow x=6$$

Όμως ο \(x=6\) δεν μπορεί να είναι όρος της παραπάνω προόδου, αφού:

$$α_{ν}=6 $$ $$\Leftrightarrow α_{1}+(ν-1)ω=6 $$ $$\Leftrightarrow 4+(ν-1)\cdot 3=6 $$ $$\Leftrightarrow (ν-1)=\dfrac{2}{3} $$ $$\Leftrightarrow ν=\dfrac{5}{3}\notin \mathbb{N}$$

Άρα δεν υπάρχουν διαδοχικοί όροι \(x\) και \(y\) της παραπάνω προόδου ώστε να ισχύει \(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}\).