ΛΥΣΗ

α) Έχουμε:

$$Δ=β^{2}-4αγ$$ $$=(-2)^{2}-4\cdot 1\cdot λ$$ $$=4-4λ>0$$

αφού:

$$λ<1$$ $$\overset{\cdot (-4)}{ \Leftrightarrow }-4λ>-4$$ $$\overset{(+4)}{ \Leftrightarrow }4-4λ>0$$

Άρα η εξίσωση έχει δύο ρίζες \(x_{1}\), \(x_{2}\) διαφορετικές μεταξύ τους.

β) Έχουμε: \(x_{1}+x_{2}=S=\dfrac{-β}{α}=\dfrac{-(-2)}{1}=2\).

γ)

1. Έχουμε \(|x_{1}-2|=|x_{2}+2|\), οπότε:

   $$\begin{cases} x_{1}-2=x_{2}+2 \\ ή \\ x_{1}-2=-x_{2}-2 \end{cases}$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} x_{1}-x_{2}=4 \\ ή \\ x_{1}+x_{2}=0 \end{cases}$$

   που απορρίπτεται λόγω β) ερωτήματος.

   Άρα \(x_{1}-x_{2}=4\).

2. Από τα ερωτήματα β) και γ) έχουμε \(x_{1}+x_{2}=2\) και \(x_{1}-x_{2}=4\). Άρα:

   $$\begin{cases} x_{1}-x_{2}=4 \\ x_{1}+x_{2}=2 \end{cases}$$ $$\overset{(+)}{ \Leftrightarrow }\begin{cases} 2x_{1}=6 \\ x_{1}+x_{2}=2 \end{cases} $$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} x_{1}=3 \\ x_{2}=-1 \end{cases}$$

   Το γινόμενο των ριζών είναι \(P=\dfrac{γ}{α}=λ\), οπότε \(λ=x_{1}x_{2}=-3\).