ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο $f(x)=-x^2+2x+3$ έχει διακρίνουσα:

$$\Delta =2^2-4\cdot (-1)\cdot 3$$ $$=4+12=16>0$$

Το άθροισμα των ριζών του είναι:

$$S=x_1+x_2$$ $$={\displaystyle \frac{-2}{-1}}=2$$

και το γινόμενό τους είναι:

$$P=x_1\cdot x_2={\displaystyle \frac{3}{-1}}=-3$$

Άρα $x_1=3$, $x_2=-1$ και το πρόσημο του τριωνύμου είναι:

Οπότε το τριώνυμο παίρνει θετικές τιμές για $x\in (-1,3)$ και αρνητικές τιμές για $x\in (-\mathrm{\infty },-1)\cup (3,+\mathrm{\infty })$.

β) Εφόσον $2,999\in (-1,3)$, από τον παραπάνω πίνακα προσήμου θα είναι $f(2,999)>0$ και επειδή $-1,002<-1$ θα είναι $f(-1,002)<0$. Άρα:

$$f(2,999)\cdot f(-1,002)<0$$

γ) Αν:

$$-3<\alpha <3\iff |\alpha |<3$$

δηλαδή $0\le |\alpha |<3$, τότε ο αριθμός $-{\alpha }^2+2|\alpha |+3=-|\alpha {|}^2+2|\alpha |+3=f(|\alpha |)$ είναι θετικός, όπως προκύπτει από τον πίνακα προσήμου του τριωνύμου $f(x)=-x^2+2x+3$ στο α) ερώτημα.