α) Το τριώνυμο $x^2-6x+\lambda -3$ έχει $\alpha =1$, $\beta =-6$, $\gamma =\lambda -3$ και διακρίνουσα:

$$\Delta =(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot (\lambda -3)$$ $$=36-4\lambda +12=48-4\lambda$$

β) Το τριώνυμο έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες αν και μόνο αν:

$$\Delta >0$$ $$\iff 48-4\lambda >0$$ $$\iff -4\lambda >-48$$ $$\iff \lambda <12$$

γ) Το άθροισμα των ριζών του τριωνύμου είναι:

$$S=x_1+x_2=-{\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}=-{\displaystyle \frac{-6}{1}}=6$$

και το γινόμενο των ριζών του είναι:

$$P=x_1\cdot x_2={\displaystyle \frac{\gamma }{\alpha }}={\displaystyle \frac{\lambda -3}{1}}=\lambda -3$$

Το τριώνυμο έχει δύο άνισες ρίζες αν και μόνο αν

$$\Delta >0\stackrel{(\beta )}{\iff }\lambda <12$$

Επίσης, οι ρίζες είναι ομόσημες και θετικές αν και μόνο αν:

$$\{\begin{array}{l}P>0\\ S>0\end{array}$$ $$\iff \{\begin{array}{l}\lambda -3>0\\ 6>0\end{array}$$ $$\iff \lambda >3$$

Άρα, το τριώνυμο έχει δύο άνισες ομόσημες και θετικές ρίζες αν και μόνο αν

$$\lambda <12\text{ και }\lambda >3\iff 3<\lambda <12$$

Επειδή ο συντελεστής του $x^2$ είναι $1>0$, το τριώνυμο είναι θετικό για τιμές του $x$ εκτός των ριζών $x_1,x_2$ και αρνητικό εντός των ριζών.
Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

Επειδή $x_1<\mu <x_2$ είναι $\mu >0$ αφού $x_1>0$ και από τον πίνακα διαπιστώνουμε ότι:

$$f(\mu )<0$$

Επίσης, αφού $\kappa <0$ και $0<x_1$ είναι $\kappa <x_1$.
Άρα, από τον πίνακα προσήμων διαπιστώνουμε ότι

$$f(\kappa )>0$$

Τελικά είναι $\kappa <0,\mu >0$, $f(\kappa )>0$ και $f(\mu )<0$. Οπότε:

$$\kappa \cdot f(\kappa )\cdot \mu \cdot f(\mu )>0$$