ΛΥΣΗ

α) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$ βρίσκεται πάνω από τον άξονα $x^{\prime }x$ αν και μόνο αν $f(x)>0$, οπότε ισοδύναμα έχουμε:

$$(x-1{)}^2-4>0$$ $$\iff (x-1{)}^2>4$$ $$\iff \sqrt{(x-1{)}^2}>4$$ $$\iff |x-1|>2$$

Η τελευταία ανίσωση ισχύει αν και μόνο αν:

$$x-1<-2\text{ή}x-1>2$$

από όπου ισοδύναμα βρίσκουμε ότι:

$$x<-1\text{ή}x>3$$

β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης $g$ βρίσκεται πάνω από τον άξονα $x^{\prime }x$ αν και μόνο αν:

$$g(x)>0$$ $$\iff |x-1|+2>0$$

το οποίο ισχύει για κάθε $x\in \mathbb{R}$ αφού $|x-1|\ge 0$ και $2>0$.

γ) Οι τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων $f$ και $g$, προκύπτουν από τη λύση της εξίσωσης:

$$f(x)=g(x)$$ $$\iff (x-1{)}^2-4=|x-1|+2$$

η οποία γράφεται:

$$|x-1{|}^2-4=|x-1|+2$$ $$\iff |x-1{|}^2-|x-1|-6=0$$

Στην τελευταία σχέση θέτουμε $|x-1|=y$, οπότε η εξίσωση γράφεται:

$$y^2-y-6=0$$

Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα:

$$\Delta ={\beta }^2-4\alpha \gamma$$ $$=(-1{)}^2-4\cdot 1\cdot (-6)$$ $$=1+24=25>0$$

και ρίζες τις:

$$y_{\text{1,2}}={\displaystyle \frac{-\beta \pm \sqrt{\Delta }}{2\alpha }}$$ $$={\displaystyle \frac{-(-1)\pm \sqrt{25}}{2\cdot 1}}$$ $$={\displaystyle \frac{1\pm 5}{2}}$$ $$=\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{1+5}{2}}=3\\ {\displaystyle \frac{1-5}{2}}=-2\end{array}$$

Άρα για $y=|x-1|$ έχουμε:

• $|x-1|=3\iff (x-1=3\text{ή}x-1=-3)\iff x=4\text{ή}x=-2$
• $|x-1|=-2$ που είναι αδύνατη

Θέτοντας $x=4$ στον τύπο της συνάρτησης $g$ βρίσκουμε:

$$g(4)=|4-1|+2$$ $$=|3|+2=5$$

Θέτοντας $x=-2$ στον τύπο της συνάρτησης $g$ βρίσκουμε:

$$g(-2)=|-2-1|+2$$ $$=|-3|+2$$ $$=3+2=5$$

Άρα, τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων $f$ και $g$ είναι τα:

$${\rm A}(-2,5)\text{και}{\rm B}(4,5)$$