ΛΥΣΗ

α) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης \(f\) βρίσκεται πάνω από τον άξονα \(x'x\) αν και μόνο αν \(f(x)>0\), οπότε ισοδύναμα έχουμε:

$$(x-1)^{2}-4>0 $$ $$\Leftrightarrow (x-1)^{2}>4 $$ $$\Leftrightarrow \sqrt{(x-1)^{2}}>4 $$ $$\Leftrightarrow |x-1|>2$$

Η τελευταία ανίσωση ισχύει αν και μόνο αν:

$$x-1<-2\ \ \text{ή}\ \ x-1>2$$

από όπου ισοδύναμα βρίσκουμε ότι:

$$x<-1\ \ \text{ή}\ \ x>3$$

β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης \(g\) βρίσκεται πάνω από τον άξονα \(x'x\) αν και μόνο αν:

$$g(x)>0 $$ $$\Leftrightarrow |x-1|+2>0$$

το οποίο ισχύει για κάθε \(x\in \mathbb{R}\) αφού \(|x-1|\ge 0\) και \(2>0\).

γ) Οι τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων \(f\) και \(g\), προκύπτουν από τη λύση της εξίσωσης:

$$f(x)=g(x) $$ $$\Leftrightarrow (x-1)^{2}-4=|x-1|+2$$

η οποία γράφεται:

$$|x-1|^{2}-4=|x-1|+2 $$ $$\Leftrightarrow |x-1|^{2}-|x-1|-6=0$$

Στην τελευταία σχέση θέτουμε \(|x-1|=y\), οπότε η εξίσωση γράφεται:

$$y^{2}-y-6=0$$

Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα:

$$Δ=β^{2}-4αγ$$ $$=(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot (-6)$$ $$=1+24=25>0$$

και ρίζες τις:

$$y_{\text{1,2}}=\dfrac{-β\pm \sqrt{Δ}}{2α}$$ $$=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{25}}{2\cdot 1}$$ $$=\dfrac{1\pm 5}{2}$$ $$=\begin{cases} \dfrac{1+5}{2}=3 \\ \dfrac{1-5}{2}=-2 \end{cases}$$

Άρα για \(y=|x-1|\) έχουμε:

• \(|x-1|=3 \Leftrightarrow (x-1=3\ \ \text{ή}\ \ x-1=-3) \Leftrightarrow x=4\ \ \text{ή}\ \ x=-2\)
• \(|x-1|=-2\) που είναι αδύνατη

Θέτοντας \(x=4\) στον τύπο της συνάρτησης \(g\) βρίσκουμε:

$$g(4)=|4-1|+2$$ $$=|3|+2=5$$

Θέτοντας \(x=-2\) στον τύπο της συνάρτησης \(g\) βρίσκουμε:

$$g(-2)=|-2-1|+2$$ $$=|-3|+2$$ $$=3+2=5$$

Άρα, τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων \(f\) και \(g\) είναι τα:

$$Α(-2,5)\ \ \text{και}\ \ Β(4,5)$$