ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο $x^2-2x-8$ έχει $\alpha =1$, $\beta =-2$, $\gamma =-8$ και διακρίνουσα

$$\Delta ={\beta }^2-4\alpha \gamma$$ $$=(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-8)$$ $$=4+32=36>0$$

Οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:

$$x_{\text{1,2}}={\displaystyle \frac{-\beta \pm \sqrt{\Delta }}{2\alpha }}$$ $$={\displaystyle \frac{-(-2)\pm \sqrt{36}}{2\cdot 1}}$$ $$=\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{2+6}{2}}=4\\ {\displaystyle \frac{2-6}{2}}=-2\end{array}$$

Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

Από τον πίνακα προσήμων συμπεραίνουμε ότι:

$$x^2-2x-8<0$$ $$\iff -2<x<4$$ $$\iff x\in (-2,4)$$

και:

$$x^2-2x-8>0$$ $$\iff (x<-2\text{ή}x>4)$$ $$\iff x\in (-\mathrm{\infty },-2)\cup (4,+\mathrm{\infty })$$

β) Για να βρούμε το πρόσημο της παράστασης ${\kappa }^2-2\kappa -8$ πρέπει να γνωρίζουμε σε ποιο από τα διαστήματα του ερωτήματος α) ανήκει ο $\kappa =-{\displaystyle \frac{8889}{4444}}$. Συγκρίνουμε τον $\kappa$ με το $-2$ :

$$\kappa -(-2)=-{\displaystyle \frac{8889}{4444}}+2$$ $$=-{\displaystyle \frac{8889}{4444}}+{\displaystyle \frac{8888}{4444}}$$ $$=-{\displaystyle \frac{1}{4444}}<0$$

Άρα, $\kappa -(-2)<0\iff \kappa <-2$. Οπότε, από τον πίνακα του ερωτήματος α) συμπεραίνουμε ότι ${\kappa }^2-2\kappa -8>0$.

γ) Η δοθείσα παράσταση γράφεται:

$${\mu }^2-2|\mu |-8=|\mu {|}^2-2|\mu |-8$$

Επομένως προκύπτει από το αρχικό τριώνυμο για $x=|\mu |$.
Επίσης έχουμε ότι:

$$-4<\mu <4$$ $$\iff |\mu |<4$$ $$\iff 0\le |\mu |<4$$

Από τον πίνακα προσήμων του ερωτήματος α) διαπιστώνουμε ότι για $0\le |\mu |<4$ είναι:

$$|\mu {|}^2-2|\mu |-8<0$$