α) Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα: \(Δ=β^{2}-4⋅1⋅β^{2}=-3β^{2}\)

β)
i. Για \(β≠0\) ισχύει ότι: \(Δ=-3β^{2}\lt 0.\)
Επειδή ο συντελεστής του \(x^{2}\) είναι \(1>0\), το τριώνυμο είναι θετικό για κάθε \(x\in \mathbb{R}\).

ii. Για \(β=0\) είναι \(Δ=0\), οπότε το τριώνυμο είναι θετικό για κάθε \(x\in \mathbb{R}-\{0\}\), αφού για \(x=0\) μηδενίζεται.

γ) Το τριώνυμο \(α^{2}+αβ+β^{2}\) προκύπτει από το αρχικό τριώνυμο για \(x=α\). Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

• Περίπτωση 1η
  Αν \(β≠0\) τότε από το (βi) συμπεραίνουμε ότι:

$$α^{2}+αβ+β^{2}>0.$$

• Περίπτωση 2η
  Αν \(β=0\) (οπότε \(α≠0\) ),από το (βii) συμπεραίνουμε ότι:

$$α^{2}+αβ+β^{2}>0.$$