α) Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα: $\Delta ={\beta }^2-4\cdot 1\cdot {\beta }^2=-3{\beta }^2$

β)
i. Για $\beta \ne 0$ ισχύει ότι: $\Delta =-3{\beta }^2<0.$
Επειδή ο συντελεστής του $x^2$ είναι $1>0$, το τριώνυμο είναι θετικό για κάθε $x\in \mathbb{R}$.

ii. Για $\beta =0$ είναι $\Delta =0$, οπότε το τριώνυμο είναι θετικό για κάθε $x\in \mathbb{R}-\{0\}$, αφού για $x=0$ μηδενίζεται.

γ) Το τριώνυμο ${\alpha }^2+\alpha \beta +{\beta }^2$ προκύπτει από το αρχικό τριώνυμο για $x=\alpha$. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

• Περίπτωση 1η
  Αν $\beta \ne 0$ τότε από το (βi) συμπεραίνουμε ότι:

$${\alpha }^2+\alpha \beta +{\beta }^2>0.$$

• Περίπτωση 2η
  Αν $\beta =0$ (οπότε $\alpha \ne 0$ ),από το (βii) συμπεραίνουμε ότι:

$${\alpha }^2+\alpha \beta +{\beta }^2>0.$$