ΛΥΣΗ

α) Για τη διαφορά $\omega$ της προόδου ισχύει ότι:

$$\omega ={\alpha }_3-{\alpha }_2=(\kappa +1{)}^2-{\kappa }^2$$ $$={\kappa }^2+2\kappa +1-{\kappa }^2=2\kappa +1(1)$$

Άρα, η διαφορά $\omega$ είναι περιττός αριθμός.

β)

1. Έχουμε ότι:

$${\alpha }_2={\alpha }_1+\omega$$ $$\stackrel{(1)}{\iff }{\kappa }^2=2+2\kappa +1$$ $$\iff {\kappa }^2-2\kappa -3=0$$

Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα:

$$\Delta ={\beta }^2-4\alpha \gamma$$ $$=(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-3)=16>0$$

και ρίζες τις:

$${\kappa }_{\text{1,2}}={\displaystyle \frac{-\beta \pm \sqrt{\Delta }}{2\alpha }}$$ $$={\displaystyle \frac{-(-2)\pm \sqrt{16}}{2}}$$ $$=\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{2+4}{2}}=3\\ {\displaystyle \frac{2-4}{2}}=-1\end{array}$$

Η τιμή $\kappa =-1$ απορρίπτεται γιατί $\kappa >1$. Άρα, $\kappa =3$. Οπότε, από τη σχέση $(1)$ έχουμε:

$$\omega =2\cdot 3+1=7$$

2. Για να είναι ο $72$ όρος της προόδου, πρέπει να υπάρχει φυσικός αριθμός $\nu$ τέτοιος ώστε:

$${\alpha }_{\nu }=72$$ $$\iff {\alpha }_1+(\nu -1)\omega =72$$ $$\iff 2+(\nu -1)7=72$$ $$\iff 2+7\nu -7=72$$ $$\iff 7\nu =77$$ $$\iff \nu =11$$

Άρα, ο αριθμός $72$ είναι ο 11ος όρος της προόδου.