ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο $3x^2-14x+8$ έχει διακρίνουσα:

$$\Delta =(-14{)}^2-4\cdot 3\cdot 8$$ $$=196-96=100>0$$

οπότε η εξίσωση $3x^2-14x+8=0$ έχει δυο ρίζες άνισες, τις:

$$x_1={\displaystyle \frac{-(-14)+\sqrt{100}}{2\cdot 3}}$$ $$={\displaystyle \frac{14+10}{6}}=4$$

και

$$x_2={\displaystyle \frac{-(-14)-\sqrt{100}}{2\cdot 3}}$$ $$={\displaystyle \frac{14-10}{6}}={\displaystyle \frac{4}{6}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$$

Το τριώνυμο $8x^2-14x+3$ έχει διακρίνουσα:

$$\Delta =(-14{)}^2-4\cdot 8\cdot 3$$ $$=196-96=100>0$$

οπότε η εξίσωση $8x^2-14x+3=0$ έχει δυο ρίζες άνισες, τις:

$$x_1={\displaystyle \frac{-(-14)+\sqrt{100}}{2\cdot 8}}$$ $$={\displaystyle \frac{14+10}{16}}={\displaystyle \frac{24}{16}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$$

και

$$x_2={\displaystyle \frac{-(-14)-\sqrt{100}}{2\cdot 8}}$$ $$={\displaystyle \frac{14-10}{16}}={\displaystyle \frac{4}{16}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$$

β) Ο αριθμός $\rho$ είναι ρίζα της εξίσωσης $(3)$ αν και μόνο αν την επαληθεύει, δηλαδή αν και μόνο αν ισχύει:

$$\alpha {\rho }^2+\beta \rho +\gamma =0(5)$$

1. Εάν $\rho =0$, τότε από την σχέση $(5)$ προκύπτει $\gamma =0$, που είναι άτοπο, αφού $\alpha \cdot \gamma \ne 0$. Άρα $\rho \ne 0$.

2. Ο ${\displaystyle \frac{1}{\rho }}$ είναι ρίζα της εξίσωσης $(4)$ αν και μόνο αν

$$\gamma ({\displaystyle \frac{1}{\rho }}{)}^2+\beta \cdot {\displaystyle \frac{1}{\rho }}+\alpha =0$$ $$\stackrel{(\cdot {\rho }^2)}{⟺}\gamma +\beta \rho +\alpha {\rho }^2=0$$

που ισχύει λόγω της σχέσης $(5)$.