ΛΥΣΗ

Δίνεται η γεωμετρική πρόοδος \((α_{ν})\) με λόγο \(λ\) για την οποία ισχύουν:
\(α_{3}=4,α_{5}=16\) και \(λ>0\).

α) Έχουμε:

$$\begin{cases} α_{3}=4 \\ α_{5}=16 \end{cases} $$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} α_{1}\cdot λ^{2}=4 \\ α_{1}\cdot λ^{4}=16 \end{cases}$$ $$\overset{(÷)}{ \Leftrightarrow }\begin{cases} λ^{2}=4 \\ α_{1}\cdot λ^{2}=4 \end{cases}$$ $$\overset{λ>0}{\Leftrightarrow }\begin{cases} λ=2 \\ α_{1}\cdot 2^{2}=4 \end{cases} $$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} λ=2 \\ α_{1}=1 \end{cases}$$

β) Έχουμε:

$$\dfrac{β_{ν+1}}{β_ν}=\dfrac{\dfrac{1}{α_{ν+1}}}{\dfrac{1}{α_{ν+1}}}$$ $$=\dfrac{α_ν}{α_{ν+1}}=\dfrac{1}{\dfrac{α_{ν+1}}{α_ν}}=\dfrac{1}{λ}$$

οπότε \((β_{ν})\), με \(β_{ν}=\dfrac{1}{α_{ν}}\), \(ν=1,2,3,..\) είναι επίσης γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο \(β_{1}=\dfrac{1}{α_{1}}=1\) και λόγο τον αντίστροφο του λόγου της \((α_{ν})\), δηλαδή \(λ'=\dfrac{1}{2}\).

γ) Εφόσον \(S_{10}\) είναι το άθροισμα των \(10\) πρώτων όρων της \((α_{ν})\), έχουμε:

$$S_{10}=α_{1}\dfrac{λ^{10}-1}{λ-1}$$ $$=1\cdot \dfrac{2^{10}-1}{2-1}=2^{10}-1$$

Το άθροισμα των \(10\) πρώτων όρων της \((β_{ν})\) είναι:

$$S_{10}'=β_{1}\dfrac{(λ')^{10}-1}{λ'-1}$$ $$=1\cdot \dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{10}-1}{\dfrac{1}{2}-1}$$ $$=\dfrac{\dfrac{1}{2^{10}}-1}{-\dfrac{1}{2}}$$ $$=\dfrac{\dfrac{1-2^{10}}{2^{10}}}{-\dfrac{1}{2}}$$ $$=\dfrac{\dfrac{2^{10}-1}{2^{10}}}{\dfrac{1}{2}}$$ $$=\dfrac{2\cdot (2^{10}-1)}{2^{10}}$$ $$=\dfrac{1}{2^{9}}S_{10}$$