Θέμα: 33891

Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Πηγή: Ι.Ε.Π.	Αναγνώσθηκε: 5922 φορές Επικοινωνία
Μάθημα:	Άλγεβρα	Τάξη:	Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος:	33891	Θέμα:	4
Τελευταία Ενημέρωση:	26-Φεβ-2023	Ύλη:	5.3. Γεωμετρική πρόοδος
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	33891
Ύλη:	5.3. Γεωμετρική πρόοδος
Τελευταία Ενημέρωση: 26-Φεβ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)

Αρχείο Εκφώνησης (PDF) Αρχείο Εκφώνησης (DOC)

ΘΕΜΑ 4

Δίνεται η γεωμετρική πρόοδος $(α_{ν})$ με λόγο $λ$ για την οποία ισχύουν:
$α_{3} = 4, α_{5} = 16$ και $λ > 0$ .

α) Να βρείτε τον πρώτο όρο $α_{1}$ και τον λόγο $λ$ της προόδου.
(Μονάδες 8)

β) Να αποδείξετε ότι η ακολουθία $(β_{ν})$ , με $β_{ν} = \frac{1}{α_{ν}}$ , $ν = 1, 2, 3, . .$ είναι επίσης γεωμετρική πρόοδος με λόγο τον αντίστροφο του λόγου της $(α_{ν})$ .
(Μονάδες 9)

γ) Αν $S_{10}$ είναι το άθροισμα των $10$ πρώτων όρων της $(α_{ν})$ και $S_{10}^{'}$ το άθροισμα των $10$ πρώτων όρων της $(β_{ν})$ αντίστοιχα, να δείξετε ότι ισχύει η σχέση:

$S_{10}^{'} = \frac{1}{2^{9}} S_{10}$

(Μονάδες 8)

Εμφάνιση Απάντησης

Αρχείο Απάντησης (PDF) Αρχείο Απάντησης (DOC)

ΛΥΣΗ

Δίνεται η γεωμετρική πρόοδος $(α_{ν})$ με λόγο $λ$ για την οποία ισχύουν:
$α_{3} = 4, α_{5} = 16$ και $λ > 0$ .

α) Έχουμε:

${\begin{cases} α_{3} = 4 \\ α_{5} = 16 \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} α_{1} \cdot λ^{2} = 4 \\ α_{1} \cdot λ^{4} = 16 \end{cases}$ $\overset{(\div)}{\Leftrightarrow} {\begin{cases} λ^{2} = 4 \\ α_{1} \cdot λ^{2} = 4 \end{cases}$ $\overset{λ > 0}{\Leftrightarrow} {\begin{cases} λ = 2 \\ α_{1} \cdot 2^{2} = 4 \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} λ = 2 \\ α_{1} = 1 \end{cases}$

β) Έχουμε:

$\frac{β_{ν + 1}}{β_{ν}} = \frac{\frac{1}{α_{ν + 1}}}{\frac{1}{α_{ν + 1}}}$ $= \frac{α_{ν}}{α_{ν + 1}} = \frac{1}{\frac{α_{ν + 1}}{α_{ν}}} = \frac{1}{λ}$

οπότε $(β_{ν})$ , με $β_{ν} = \frac{1}{α_{ν}}$ , $ν = 1, 2, 3, . .$ είναι επίσης γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο $β_{1} = \frac{1}{α_{1}} = 1$ και λόγο τον αντίστροφο του λόγου της $(α_{ν})$ , δηλαδή $λ^{'} = \frac{1}{2}$ .

γ) Εφόσον $S_{10}$ είναι το άθροισμα των $10$ πρώτων όρων της $(α_{ν})$ , έχουμε:

$S_{10} = α_{1} \frac{λ^{10} - 1}{λ - 1}$ $= 1 \cdot \frac{2^{10} - 1}{2 - 1} = 2^{10} - 1$

Το άθροισμα των $10$ πρώτων όρων της $(β_{ν})$ είναι:

$S_{10}^{'} = β_{1} \frac{(λ^{'})^{10} - 1}{λ^{'} - 1}$ $= 1 \cdot \frac{{(\frac{1}{2})}^{10} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$ $= \frac{\frac{1}{2^{10}} - 1}{- \frac{1}{2}}$ $= \frac{\frac{1 - 2^{10}}{2^{10}}}{- \frac{1}{2}}$ $= \frac{\frac{2^{10} - 1}{2^{10}}}{\frac{1}{2}}$ $= \frac{2 \cdot (2^{10} - 1)}{2^{10}}$ $= \frac{1}{2^{9}} S_{10}$