ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο $x^2+x-6$ έχει διακρίνουσα $\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot (-6)=25>0$. Το άθροισμα των ριζών του είναι $S={\displaystyle \frac{-1}{1}}=-1$ και το γινόμενό τους είναι $P={\displaystyle \frac{-6}{1}}=-6$, οπότε οι ρίζες είναι $x_1=-3$ και $x_2=2$. Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

Οπότε η ανίσωση $x^2+x-6<0$ αληθεύει για $x\in (-3,2)$.

β) Έχουμε ισοδύναμα:

$$|x-{\displaystyle \frac{1}{2}}|>1$$ $$\Rightarrow \{\begin{array}{l}x-{\displaystyle \frac{1}{2}}<-1\\ ή\\ x-{\displaystyle \frac{1}{2}}>1\end{array}$$ $$\Rightarrow \{\begin{array}{l}x<-{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ ή\\ x>{\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}$$

γ)

1. Ο αριθμός $\alpha$ ικανοποιεί τη σχέση $|\alpha -{\displaystyle \frac{1}{2}}|>1$, οπότε από το β) ερώτημα $\alpha <-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ (απορρίπτονται οι τιμές αυτές γιατί $\alpha >0$, ως πλευρά) ή $\alpha >{\displaystyle \frac{3}{2}}(1)$.

   Για το εμβαδόν ${\rm E}$ του ορθογωνίου ισχύει:

   $${\rm E}<6$$ $$\iff \alpha \cdot (\alpha +1)<6$$ $$\iff {\alpha }^2+\alpha -6<0$$

   Από το α) ερώτημα και επειδή $\alpha >0$, η ανίσωση αληθεύει για $\alpha \in (0,2)(2)$.

   Από τις σχέσεις $(1)$ και $(2)$ προκύπτει ${\displaystyle \frac{3}{2}}<\alpha <2$.

2. Η περίμετρος του ορθογωνίου είναι $\Pi =2\alpha +2(\alpha +1)=4\alpha +2$.
   Έχουμε:

   $${\displaystyle \frac{3}{2}}<\alpha <2$$ $$\stackrel{(\cdot 4)}{\iff }6<4\alpha <8$$ $$\stackrel{(+2)}{\iff }8<\Pi <10$$

   Άρα η περίμετρος του ορθογωνίου κυμαίνεται μεταξύ των αριθμών $8$ και $10$.