α) Πρέπει $|2-x|\ne 0\iff 2-x\ne 0\iff x\ne 2$.
Άρα ${{\rm A}}_f=(-\mathrm{\infty },2)\cup (2,+\mathrm{\infty })$.

β) Το τριώνυμο $x^2-5x+6$ έχει άθροισμα ριζών

$$S=x_1+x_2={\displaystyle \frac{-\beta }{\alpha }}=5$$

και γινόμενο ριζών

$$P=x_1{x}_2={\displaystyle \frac{\gamma }{\alpha }}=6$$

άρα οι ρίζες του είναι: $x_1=2x_2=3$.
Οπότε $x^2-5x+6=(x-3)(x-2)$.

Έχουμε:

$$\begin{array}{rl}f(x)& ={\displaystyle \frac{x^2-5x+6}{|2-x|}}\\ & ={\displaystyle \frac{(x-2)(x-3)}{|2-x|}}\\ & =\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{(x-2)(x-3)}{(x-2)}}=x-3\text{,}& x>2\\ {\displaystyle \frac{(x-2)(x-3)}{(2-x)}}=-x+3\text{,}& x<2\end{array}\end{array}$$

γ)
i. Για $x>2$ η γραφική παράσταση της $f$ είναι ευθεία με εξίσωση $y=x-3$. Δυο σημεία από τα οποία διέρχεται η ευθεία είναι τα $(3,0)$ και $(4,1)$. Για $x<2$ η γραφική παράσταση της $f$ είναι ευθεία με εξίσωση $y=-x+3$. Δυο σημεία από τα οποία διέρχεται η ευθεία είναι τα $(1,2)$ και $(0,3)$. Άρα η γραφική παράσταση της $f$ είναι:

ii. Από το παραπάνω σχήμα βλέπουμε ότι η γραφική παράσταση της $f$ τέμνει τον $x^{\prime }x$ άξονα στο σημείο $(3,0)$ και τον $y^{\prime }y$ άξονα στο $(0,3)$.

δ) Από το γi. ερώτημα, παρατηρούμε ότι η γραφική παράσταση της $f$ είναι κάτω από τον άξονα $x^{\prime }x$ για $x\in (2,3)$ και τέμνει τον $x^{\prime }x$ στο $(3,0)$ (δηλαδή $f(3)=0$). Άρα η ανίσωση $f(x)\le 0$ αληθεύει για $x\in (2,3]$.