α) Πρέπει $2x-3\ne 0\iff 2x\ne 3\iff x\ne {\displaystyle \frac{3}{2}}$.

Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι ${{\rm A}}_f=(-\mathrm{\infty },\frac{3}{2})\cup (\frac{3}{2},+\mathrm{\infty })$.

β) Παραγοντοποιούμετο τριώνυμο στον αριθμητή του τύπου της συνάρτησης $f$. Έχουμε:

$$\begin{array}{rl}4x^2-2(\alpha +3)x+3\alpha & =4x^2-2\alpha x-6x+3\alpha \\ & =2x(2x-\alpha )-3(2x-\alpha )\\ & =(2x-\alpha )(2x-3)\end{array}$$

Άρα:

$$\begin{array}{rl}f(x)& ={\displaystyle \frac{4x^2-2(\alpha +3)x+3\alpha }{2x-3}}\\ & ={\displaystyle \frac{(2x-\alpha )(2x-3)}{2x-3}}\\ & =2x-\alpha ,\text{ για κάθε }x\ne {\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}$$

γ) Η γραφική παράσταση της $f$ διέρχεται από το σημείο $(1,-1)$, δηλαδή $f(1)=-1$,οπότε $2\cdot 1-\alpha =-1$ και τελικά $\alpha =3$.

δ) Η γραφική παράσταση της $f(x)=2x-\alpha$ είναι ευθεία, εκτός του σημείου με τετμημένη ${\displaystyle \frac{3}{2}}$, δηλαδή του σημείου $(\frac{3}{2},3-\alpha )$.

• Αν $\alpha =3$, η ευθεία δεν έχει σημείο τομής με τον $x^{\prime }x$ άξονα (το σημείο $(\frac{3}{2},0)$ δεν είναι σημείο της γραφικής παράστασης της $f$). Τέμνει τον $y^{\prime }y$ άξονα στο $(0,-3)$, γιατί $f(0)=2\cdot 0-\alpha =-\alpha =-3$.

• Αν $\alpha \ne 3$ :
  Για $y=0$ έχουμε $0=2x-\alpha \iff x={\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$ και η γραφική παράσταση της $f$ τέμνει τον $x^{\prime }x$ άξονα στο σημείο ${\rm A}(\frac{\alpha }{2},0)$.

Για $x=0$, έχουμε $y=2\cdot 0-\alpha =-\alpha$ και η γραφική παράσταση της $f$ τέμνει τον τον $y^{\prime }y$ άξονα στο ${\rm B}(0,-\alpha )$.

• Ειδικά στην περίπτωση που $\alpha =0$, τα παραπάνω σημεία ${\rm A}$ και ${\rm B}$ έχουν συντεταγμένες $(0,0)$, οπότε η γραφική παράσταση της $f$ είναι ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων.