ΛΥΣΗ

α) Έχουμε ισοδύναμα:

$$|α-2|<1$$ $$\Rightarrow -1<α-2<1$$ $$\Rightarrow -1+2<α<1+2$$ $$\Rightarrow 1<α<3$$

β) Έχουμε ισοδύναμα:

$$|β-3|\le 2$$ $$\Rightarrow -2\le β-3\le 2$$ $$\Rightarrow 3-2\le β\le 3+2$$ $$\Rightarrow 1\le β\le 5$$

γ) Θα βρούμε μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκεται η παράσταση \(2α-3β\) = \(2α+(-3β)\).
Από τα ερωτήματα α) και β) έχουμε:
\(1<α<3\), οπότε πολλαπλασιάζοντας τα μέλη της ανίσωσης με \(2\) έχουμε:

$$2<2α<6\ \ \ \ (1)$$

και \(1\le β\le 5\), οπότε πολλαπλασιάζοντας τα μέλη της ανίσωσης με \(-3\) έχουμε: \(-3\cdot 1\ge -3β\ge -3\cdot 5\) και ισοδύναμα:

$$-15\le -3β\le -3\ \ \ \ (2)$$

Προσθέτουμε τις \((1)\) και \((2)\) κατά μέλη, οπότε:

$$-13<2α+(-3β)<3$$ $$\Rightarrow -13<2α-3β<3$$

δ) Θα βρούμε μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκεται η παράσταση \(\dfrac{α}{β}=α\cdot \dfrac{1}{β}\).
Από τα ερωτήματα α) και β) έχουμε:

$$1<α<3\ \ \ \ (3)$$

και \(1\le β\le 5\), οπότε ισοδύναμα \(\dfrac{1}{1}\ge \dfrac{1}{β}\ge \dfrac{1}{5}\), δηλαδή:

$$\dfrac{1}{5}\le \dfrac{1}{β}\le 1\ \ \ \ (4)$$

Πολλαπλασιάζουμε τις \((3)\) και \((4)\) κατά μέλη, οπότε: \(1\cdot \dfrac{1}{5}<α\cdot \dfrac{1}{β}<3\cdot 1\), δηλαδή \(\dfrac{1}{5}<\dfrac{α}{β}<3\).