ΛΥΣΗ

α) Έχουμε ισοδύναμα:

$$|\alpha -2|<1$$ $$\Rightarrow -1<\alpha -2<1$$ $$\Rightarrow -1+2<\alpha <1+2$$ $$\Rightarrow 1<\alpha <3$$

β) Έχουμε ισοδύναμα:

$$|\beta -3|\le 2$$ $$\Rightarrow -2\le \beta -3\le 2$$ $$\Rightarrow 3-2\le \beta \le 3+2$$ $$\Rightarrow 1\le \beta \le 5$$

γ) Θα βρούμε μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκεται η παράσταση $2\alpha -3\beta$ = $2\alpha +(-3\beta )$.
Από τα ερωτήματα α) και β) έχουμε:
$1<\alpha <3$, οπότε πολλαπλασιάζοντας τα μέλη της ανίσωσης με $2$ έχουμε:

$$2<2\alpha <6(1)$$

και $1\le \beta \le 5$, οπότε πολλαπλασιάζοντας τα μέλη της ανίσωσης με $-3$ έχουμε: $-3\cdot 1\ge -3\beta \ge -3\cdot 5$ και ισοδύναμα:

$$-15\le -3\beta \le -3(2)$$

Προσθέτουμε τις $(1)$ και $(2)$ κατά μέλη, οπότε:

$$-13<2\alpha +(-3\beta )<3$$ $$\Rightarrow -13<2\alpha -3\beta <3$$

δ) Θα βρούμε μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκεται η παράσταση ${\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}=\alpha \cdot {\displaystyle \frac{1}{\beta }}$.
Από τα ερωτήματα α) και β) έχουμε:

$$1<\alpha <3(3)$$

και $1\le \beta \le 5$, οπότε ισοδύναμα ${\displaystyle \frac{1}{1}}\ge {\displaystyle \frac{1}{\beta }}\ge {\displaystyle \frac{1}{5}}$, δηλαδή:

$${\displaystyle \frac{1}{5}}\le {\displaystyle \frac{1}{\beta }}\le 1(4)$$

Πολλαπλασιάζουμε τις $(3)$ και $(4)$ κατά μέλη, οπότε: $1\cdot {\displaystyle \frac{1}{5}}<\alpha \cdot {\displaystyle \frac{1}{\beta }}<3\cdot 1$, δηλαδή ${\displaystyle \frac{1}{5}}<{\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}<3$.