α)

1. Για $\alpha =1$ η εξίσωση γίνεται:

   $$(1+3)x=1^2-9$$ $$\iff 4x=-8$$ $$\iff x=-2$$

2. Για $\alpha =-3$ η εξίσωση γίνεται:

   $$(-3+3)x=(-3{)}^2-9$$ $$\iff 0x=0$$

   που έχει άπειρες λύσεις.

β) Η εξίσωση έχει μοναδική λύση αν και μόνο αν:

$$\alpha +3\ne 0$$ $$\iff \alpha \ne -3$$

Για την εύρεση της μοναδικής λύσης της εξίσωσης έχουμε:

$$(\alpha +3)x={\alpha }^2-9$$ $$\iff (\alpha +3)x=(\alpha +3)(\alpha -3)$$ $$\stackrel{\alpha \ne -3}{\iff }{\displaystyle \frac{(\alpha +3)x}{\alpha +3}}={\displaystyle \frac{(\alpha +3)(\alpha -3)}{\alpha +3}}$$ $$\iff x=\alpha -3$$