ΛΥΣΗ

α) Έχουμε:

$$(\alpha +\beta {)}^2={\alpha }^2+2\alpha \beta +{\beta }^2$$ $$\iff {12}^2=272+2\alpha \beta$$ $$\iff 144=272+2\alpha \beta$$ $$\iff \alpha \beta =–64$$

β) Μια εξίσωση που έχει ρίζες τους αριθμούς $\alpha$, $\beta$ είναι η $x^2–Sx+P=0$, όπου $S=\alpha +\beta =12$ και ${\rm P}=\alpha \beta =–64$.

Άρα μια εξίσωση που έχει ρίζες τους αριθμούς $\alpha$, $\beta$ είναι η:

$$x^2–12x–64=0$$

γ) Το τριώνυμο $x^2-12x-64$ έχει διακρίνουσα:

$$\Delta =(–12{)}^2–4\cdot 1\cdot (–64)$$ $$=144+256=400>0$$

Οι ρίζες της εξίσωσης $x^2-12x-64=0$ είναι:

$$\begin{array}{rl}\alpha ,\beta & ={\displaystyle \frac{-(-12)\pm \sqrt{400}}{2\cdot 1}}\\ & ={\displaystyle \frac{12\pm 20}{2}}\\ & =\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{12+20}{2}}=16\\ {\displaystyle \frac{12-20}{2}}=-4\end{array}\end{array}$$

Άρα $\alpha =16$, $\beta =-4$ ή $\alpha =-4$, $\beta =16$.