α) Είναι:

$$\begin{align} A+B & =\dfrac{1}{3-\sqrt{7}}+\dfrac{1}{3+\sqrt{7}}\\ & =\dfrac{3+\sqrt{7}}{(3+\sqrt{7})(3-\sqrt{7})}+\dfrac{3-\sqrt{7}}{(3+\sqrt{7})(3-\sqrt{7})}\\ &=\dfrac{3-\sqrt{7}+3+\sqrt{7}}{(3+\sqrt{7})(3-\sqrt{7})}\\ &=\dfrac{6}{3^{2}-(\sqrt{7})^{2}}\\ &=\dfrac{6}{9-7}\\ &=\dfrac{6}{2} \\ &=3 \end{align}

Ισχύει ότι:

\begin{align} A\cdot B & =\dfrac{1}{3-\sqrt{7}}\cdot \dfrac{1}{3+\sqrt{7}}\\ &=\dfrac{1}{(3+\sqrt{7})(3-\sqrt{7})}\\ &=\dfrac{1}{3^{2}-(\sqrt{7})^{2}}\\ &=\dfrac{1}{9-7}\\ &=\dfrac{1}{2} \end{align}

β) Η ζητούμενη εξίσωση είναι της μορφής:

$$x^{2}-Sx+P=0$$

με

$$S=A+B=3 \text{ και }P=Α\cdot B=\dfrac{1}{2}$$

Τελικά μια ζητούμενη εξίσωση είναι η:

$$x^{2}-3x+\dfrac{1}{2}=0$$