α) Είναι:

$${\alpha }_5=14$$ $$\iff {\alpha }_1+(5–1)\omega =14$$ $$\iff {\alpha }_1+4\omega =14$$ $$\iff 4\omega =12$$ $$\iff \omega =3$$

**β)$ Έχουμε:

$$S_{\nu }=77$$ $$\iff {\displaystyle \frac{v}{2}}[2{\alpha }_1+(\nu -1)\omega ]=77$$ $$\iff {\displaystyle \frac{v}{2}}[2\cdot 2+(\nu -1)3]=77$$ $$\iff {\displaystyle \frac{v}{2}}(4+3\nu -3)=77$$ $$\iff {\displaystyle \frac{v}{2}}(3\nu +1)=77$$ $$\iff {\displaystyle \frac{3{\nu }^2+\nu }{2}}=77$$ $$\iff 3{\nu }^2+\nu =154$$ $$\iff 3{\nu }^2+\nu -154=0,(1)$$

Η εξίσωση έχει διακρίνουσα:

$$\Delta ={\beta }^2–4\alpha \gamma =12–43(–154)=1+1848=1849>0.$$

Άρα η εξίσωση $(1)$ έχει ρίζες τις:

$$\begin{array}{rl}{\nu }_{\text{1,2}}& ={\displaystyle \frac{-\beta \pm \sqrt{\Delta }}{2\alpha }}\\ & ={\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{1849}}{23}}\\ & ={\displaystyle \frac{-1\pm 43}{6}}\\ & =\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{-1+43}{6}}=7\\ {\displaystyle \frac{-1-43}{6}}=-{\displaystyle \frac{44}{6}}\end{array}\end{array}$$

Η τιμή $\nu =–{\displaystyle \frac{44}{6}}$ απορρίπτεται, καθώς $\nu \in \mathbb{{\rm N}}$. Άρα πρέπει να προσθέσουμε τους $7$ πρώτους όρους της προόδου ώστε το άθροισμα να είναι ίσο με $77.$