α) Είναι:

$$α_{5}=14$$ $$\Leftrightarrow α_{1}+(5–1)ω=14$$ $$\Leftrightarrow α_{1}+4ω=14$$ $$\Leftrightarrow 4ω=12$$ $$\Leftrightarrow ω=3$$

**β)$ Έχουμε:

$$S_{ν}=77$$ $$\Leftrightarrow \dfrac{v}{2}[2α_{1}+(ν-1)ω]=77$$ $$\Leftrightarrow \dfrac{v}{2}[2\cdot 2+(ν-1)3]=77$$ $$\Leftrightarrow \dfrac{v}{2}(4+3ν-3)=77$$ $$\Leftrightarrow \dfrac{v}{2}(3ν+1)=77$$ $$\Leftrightarrow \dfrac{3ν^{2}+ν}{2}=77$$ $$\Leftrightarrow 3ν^{2}+ν=154$$ $$\Leftrightarrow 3ν^{2}+ν-154=0,\ (1)$$

Η εξίσωση έχει διακρίνουσα:

$$Δ = β^2 – 4αγ = 12 – 4 3 (– 154) = 1 + 1848 = 1849 > 0.$$

Άρα η εξίσωση \((1)\) έχει ρίζες τις:

\begin{align} ν_{\text{1,2}} & = \dfrac{-β\pm \sqrt{Δ}}{2α}\\ &=\dfrac{-1\pm \sqrt{1849}}{23}\\ &=\dfrac{-1\pm 43}{6}\\ & =\begin{cases} \dfrac{-1+43}{6}=7 \\ \dfrac{-1-43}{6}=-\dfrac{44}{6} \end{cases} \end{align}

Η τιμή \(ν = – \dfrac{44}{6}\) απορρίπτεται, καθώς \(ν\in \mathbb{Ν}\). Άρα πρέπει να προσθέσουμε τους \(7\) πρώτους όρους της προόδου ώστε το άθροισμα να είναι ίσο με \(77.\)