α) Η συνάρτηση ορίζεται για \(x\in \mathbb{R}\) με:

$$x – 3 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 3$$

Άρα, το πεδίο ορισμού της \(f\) είναι το \(Α = \mathbb{R}-{3}.\)

β) Θα παραγοντοποιήσουμε το \(x^2 – 5x + 6.\)
Το τριώνυμο \(x^2 – 5x + 6\) έχει \(α = 1,\ β = – 5,\ γ = 6\) και διακρίνουσα:
\(Δ = β^2 – 4αγ = (– 5)^2 – 4\cdot 1 \cdot 6 = 25 – 24 = 1 > 0\)

Οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:

\begin{align} x_{1,2} & = \dfrac{-β\pm \sqrt{Δ}}{2α}\\ & =\dfrac{-(-5)\pm \sqrt{1}}{21}\\ &=\dfrac{5\pm 1}{2}\\ &=\begin{cases} \dfrac{5+1}{2}=3 \\ \dfrac{5-1}{2}=2 \end{cases} \end{align}

Τότε:

$$x^2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3)$$

Για \(x\ne 3\) ο τύπος της \(f\) γράφεται:

$$f(x) = \dfrac{x^{2}-5x+6}{x-3}=\dfrac{(x-2)(x-3)}{x-3} = x – 2.$$

γ) Για τις τετμημένες των σημείων τομής της \(C_f\) με τον άξονα \(x'x\) λύνουμε την εξίσωση:

$$f(x) = 0 \Leftrightarrow x – 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2$$

Άρα η \(C_f\) τέμνει τον άξονα \(x'x\) στo σημείo \(Α(2, 0).\)
Επίσης έχουμε: \(f(0) = 0 – 2 = – 2\)
Άρα η \(C_f\) τέμνει τον άξονα \(y'y\) στο σημείο \(B(0, – 2).\)