ΛΥΣΗ

α) Oι αριθμοί $2$, $x$, $8$, με τη σειρά που δίνονται, αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν $2x=8+2$, δηλαδή $2x=10$ και τελικά $x=5$. H διαφορά $\omega$ της προόδου είναι $\omega =5-2=3$.

β) Οι αριθμοί $2$, $x$, $8$, με τη σειρά που δίνονται, αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν $x^2=2\cdot 8$, δηλαδή $x^2=16$ και τελικά $x=\pm 4$.

Για $x=-4$, ο λόγος της προόδου είναι $\lambda ={\displaystyle \frac{-4}{2}}=-2$, ενώ για $x=4$ ο λόγος της προόδου είναι $\lambda ={\displaystyle \frac{4}{2}}=2$.

γ) Αν $({\alpha }_{\nu })$ είναι η αριθμητική πρόοδος $2,5,8,11,...$ και $({\beta }_{\nu })$ η γεωμετρική πρόοδος $2,4,8,16,...$ τότε:

1. Το άθροισμα $S_{\nu }$ των $\nu$ πρώτων όρων της $({\alpha }_{\nu })$ με ${\alpha }_1=2$ και $\omega =3$, είναι:

$$S_{\nu }={\displaystyle \frac{\nu }{2}}\cdot (2\cdot 2+(\nu -1)\cdot 3)$$ $$={\displaystyle \frac{\nu }{2}}\cdot (1+3\nu )$$ $$={\displaystyle \frac{\nu +3{\nu }^2}{2}}$$

2. Ο 7ος όρος της γεωμετρικής προόδου $({\beta }_{\nu })$ με 1ο όρο ${\beta }_1=2$ και λόγο $\lambda =2$ είναι:

$${\beta }_7=2\cdot 2^1=2\cdot 2^6=2^7=128$$

Έχουμε ισοδύναμα:

$$2\cdot (S_{\nu }+24)={\beta }_7$$

Δηλαδή:

$$2\cdot ({\displaystyle \frac{\nu +3{\nu }^2}{2}}+24)=128$$

Oπότε:

$$3{\nu }^2+\nu -80=0$$

Το τριώνυμο $3{\nu }^2+\nu -80$ έχει διακρίνουσα $\Delta =1^2-4\cdot 3\cdot (-80)=961>0$, οπότε η εξίσωση έχει δυο ρίζες διαφορετικές, τις:

${\nu }_1={\displaystyle \frac{-1-\sqrt{961}}{2\cdot 3}}={\displaystyle \frac{-1-31}{6}}=-{\displaystyle \frac{16}{3}}$, που απορρίπτεται γιατί $\nu \in N$.

${\nu }_2={\displaystyle \frac{-1+\sqrt{961}}{2\cdot 3}}={\displaystyle \frac{-1+31}{6}}=5$.

Τελικά $\nu =5$.