ΛΥΣΗ

α) Το τετράγωνο \(ΘΜΕΔ\) έχει πλευρά \(x>0\ \ \ \ (1)\).
Το εμβαδόν του \(Ε_{1}=x^{2}\).
Το τετράγωνο \(ΗΒΖΜ\) έχει πλευρά \((3-x)>0 \Leftrightarrow x<3\ \ \ \ (2)\).
Το εμβαδόν του είναι \(Ε_{2}=(3-x)^{2}\).
Άρα το συνολικό εμβαδόν \(Ε\) ως συνάρτηση του \(x\) είναι:

$$Ε(x)=Ε_{1}+Ε_{2}$$ $$=x^{2}+(3-x)^{2}$$ $$=2x^{2}-6x+9$$

Από \((1)\) και \((2)\), το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \(Ε(x)\) είναι \(Α=(0,3)\).

β) Έχουμε:

$$Ε(x)\ge \dfrac{9}{2} $$ $$\Leftrightarrow 2x^{2}-6x+9\ge \dfrac{9}{2} $$ $$\Leftrightarrow 4x^{2}-12x+9\ge 0 $$ $$\Leftrightarrow (2x-3)^{2}\ge 0$$

, που ισχύει για κάθε \(x\in (0,3)\).

γ) ‘Έχουμε:

$$Ε(x)=\dfrac{9}{2}$$ $$\overset{(β)}{ \Leftrightarrow} (2x-3)^{2}=0 $$ $$\Leftrightarrow 2x-3=0 $$ $$\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}$$

Το εμβαδόν γίνεται ελάχιστο αν και μόνο αν \(x=\dfrac{3}{2}\), δηλαδή αν και μόνο αν το σημείο \(Ε\) είναι μέσο της \(ΔΓ\). Στο \(ΔΒΓ\) τρίγωνο έχουμε:
\(Ε\) μέσο της \(ΔΓ\) και \(ΜΕ \parallel ΒΓ\), οπότε και \(Μ\) θα είναι μέσο της \(ΒΔ\).