ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο $\lambda x^2+(2\lambda -1)x+\lambda -1$ έχει $\alpha =\lambda$, $\beta =2\lambda -1$, $\gamma =\lambda -1$ και διακρίνουσα:

$$\Delta =(2\lambda -1{)}^2-4\lambda (\lambda -1)=$$ $$=4{\lambda }^2-4\lambda +1-4{\lambda }^2+4\lambda =1$$

Άρα, η διακρίνουσα $\Delta$ είναι σταθερή, ανεξάρτητη του $\lambda$.

β) Οι ρίζες της εξίσωσης είναι οι:

$$x_{\text{1,2}}={\displaystyle \frac{-(2\lambda -1)\pm \sqrt{1}}{2\lambda }}$$ $$={\displaystyle \frac{1-2\lambda \pm 1}{2\lambda }}$$ $$=\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{2-2\lambda }{2\lambda }}={\displaystyle \frac{1-\lambda }{\lambda }}\\ \\ {\displaystyle \frac{-2\lambda }{2\lambda }}=-1\end{array}$$

γ) Η απόσταση των ριζών $x_1$, $x_2$ στον άξονα των πραγματικών αριθμών είναι:

$$|x_2-x_1|=|-1-{\displaystyle \frac{1-\lambda }{\lambda }}|$$

Οπότε πρέπει:

$$|-1-{\displaystyle \frac{1-\lambda }{\lambda }}|=2$$ $$\Rightarrow \left|{\displaystyle \frac{-\lambda -1+\lambda }{\lambda }}\right|=2$$ $$\Rightarrow \left|{\displaystyle \frac{1}{\lambda }}\right|=2$$ $$\Rightarrow \{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{1}{\lambda }}=2\\ \\ {\displaystyle \frac{1}{\lambda }}=-2\end{array}$$ $$\Rightarrow \{\begin{array}{l}\lambda ={\displaystyle \frac{1}{2}}\\ \\ \lambda =-{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$