ΛΥΣΗ

α) Παρατηρώντας το σχήμα, διαπιστώνουμε ότι τα σημεία τομής των \(C_{f}\) και \(C_{g}\) είναι κατ’ εκτίμηση τα \(Α(1,1)\) και \(Β(4,2)\).

β) Οι συναρτήσεις \(f\) και \(g\) έχουν πεδίο ορισμού το \(R\). Οι τετμημένες των σημείων τομής τους προκύπτουν από τη λύση της εξίσωσης:

$$f(x)=g(x)$$

δηλαδή της:

$$|x-2|=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{2}{3}\ \ \ \ (1)$$

Για:

$$x-2\ge 0 $$ $$\Leftrightarrow x\ge 2$$

είναι:

$$|x-2|=x-2$$

και η \((1)\) γράφεται:

$$x-2=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{2}{3} $$ $$\Leftrightarrow 3x-6=x+2 $$ $$\Leftrightarrow 3x-x=6+2 $$ $$\Leftrightarrow 2x=8 $$ $$\Leftrightarrow x=4>2\ \ \text{δεκτή}$$

Για \(x=4\) είναι:

$$f(4)=|4-2|=2$$

Άρα, το σημείο τομής είναι το \(Β(4,2)\).
Για:

$$x-2<0 $$ $$\Leftrightarrow x<2$$

είναι:

$$|x-2|=2-x$$

και η \((1)\) γράφεται:

$$2-x=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{2}{3} $$ $$\Leftrightarrow 6-3x=x+2 $$ $$\Leftrightarrow -3x-x=2-6 $$ $$\Leftrightarrow -4x=-4 $$ $$\Leftrightarrow x=1 < 2 \ \ \text{δεκτή}$$

Για \(x=1\) είναι:

$$f(1)=|1-2|=|-1|=1$$

Άρα, το σημείο τομής είναι το \(Α(1,1)\).

γ) Από το διάγραμμα που δίνεται διαπιστώνουμε ότι η \(C_{f}\) βρίσκεται πάνω από τη \(C_{g}\) αν και μόνο αν \(x\in (-\infty ,1)\cup (4,+\infty )\).

δ) Η παράσταση \(Κ\) ορίζεται στους πραγματικούς αριθμούς αν και μόνο αν:

$$3|2-x|-(x+2)\ge 0 $$ $$\Leftrightarrow 3|2-x|\ge x+2 $$ $$\Leftrightarrow |x-2|\ge \dfrac{1}{3}x+\dfrac{2}{3} $$ $$\Leftrightarrow f(x)\ge g(x)$$

Επομένως αναζητούμε τα διαστήματα στα οποία \(f(x)>g(x)\), δηλαδή αυτά στα οποία η γραφική παράσταση της \(f\) είναι πάνω από τη γραφική παράσταση της \(g\), καθώς και τα σημεία στα οποία \(f(x)=g(x)\), δηλαδή τις τετμημένες των σημείων τομής τους. Από τα ερωτήματα β) και γ) βρίσκουμε ότι:

$$f(x)\ge g(x) $$ $$\Leftrightarrow x\in (-\infty ,1]\cup [4,+\infty )$$