ΛΥΣΗ

α) Παρατηρώντας το σχήμα, διαπιστώνουμε ότι τα σημεία τομής των $C_f$ και $C_g$ είναι κατ’ εκτίμηση τα ${\rm A}(1,1)$ και ${\rm B}(4,2)$.

β) Οι συναρτήσεις $f$ και $g$ έχουν πεδίο ορισμού το $R$. Οι τετμημένες των σημείων τομής τους προκύπτουν από τη λύση της εξίσωσης:

$$f(x)=g(x)$$

δηλαδή της:

$$|x-2|={\displaystyle \frac{1}{3}}x+{\displaystyle \frac{2}{3}}(1)$$

Για:

$$x-2\ge 0$$ $$\iff x\ge 2$$

είναι:

$$|x-2|=x-2$$

και η $(1)$ γράφεται:

$$x-2={\displaystyle \frac{1}{3}}x+{\displaystyle \frac{2}{3}}$$ $$\iff 3x-6=x+2$$ $$\iff 3x-x=6+2$$ $$\iff 2x=8$$ $$\iff x=4>2\text{δεκτή}$$

Για $x=4$ είναι:

$$f(4)=|4-2|=2$$

Άρα, το σημείο τομής είναι το ${\rm B}(4,2)$.
Για:

$$x-2<0$$ $$\iff x<2$$

είναι:

$$|x-2|=2-x$$

και η $(1)$ γράφεται:

$$2-x={\displaystyle \frac{1}{3}}x+{\displaystyle \frac{2}{3}}$$ $$\iff 6-3x=x+2$$ $$\iff -3x-x=2-6$$ $$\iff -4x=-4$$ $$\iff x=1<2\text{δεκτή}$$

Για $x=1$ είναι:

$$f(1)=|1-2|=|-1|=1$$

Άρα, το σημείο τομής είναι το ${\rm A}(1,1)$.

γ) Από το διάγραμμα που δίνεται διαπιστώνουμε ότι η $C_f$ βρίσκεται πάνω από τη $C_g$ αν και μόνο αν $x\in (-\mathrm{\infty },1)\cup (4,+\mathrm{\infty })$.

δ) Η παράσταση ${\rm K}$ ορίζεται στους πραγματικούς αριθμούς αν και μόνο αν:

$$3|2-x|-(x+2)\ge 0$$ $$\iff 3|2-x|\ge x+2$$ $$\iff |x-2|\ge {\displaystyle \frac{1}{3}}x+{\displaystyle \frac{2}{3}}$$ $$\iff f(x)\ge g(x)$$

Επομένως αναζητούμε τα διαστήματα στα οποία $f(x)>g(x)$, δηλαδή αυτά στα οποία η γραφική παράσταση της $f$ είναι πάνω από τη γραφική παράσταση της $g$, καθώς και τα σημεία στα οποία $f(x)=g(x)$, δηλαδή τις τετμημένες των σημείων τομής τους. Από τα ερωτήματα β) και γ) βρίσκουμε ότι:

$$f(x)\ge g(x)$$ $$\iff x\in (-\mathrm{\infty },1]\cup [4,+\mathrm{\infty })$$